Oszthatóság

Ez elég nehéz kérdés, leírom, milyen lépésekkel tudod bebizonyítani. Ha úgy találod, hogy bonyolult, akkor nem érdemes vele foglalkoznod:

- Lásd be, hogy ha `p | x^p+y^p`, akkor `p | (x+y)^p`. Ehhez fejtsd ki az `(x+y)^p` hatványt binomiális együtthatókkal és lásd be, hogy mindegyik `((p),(n))`, ami "középen" van, osztható `p`-vel.
- Aztán lásd be, hogy `p | (x+y)` is teljesül.
- Aztán érdemes néhány esetben kipróbálni, csak hogy lásd, hogyan "működik" a dolog:

Mondjuk p=3 esetén:
`(x^3+y^3)=(x+y)·(x^2-xy+y^2)`
Mivel `p | (x+y)`, az `(x+y)` szorzó behoz egy `p`-t, mi hozza be a másikat a `p^2`-hez? Ebből kell kijöjjön:
`x^2-xy+y^2`
Ha ezt kivonunk `(x+y)^2`-ből, nem változik a `p`-vel való oszthatósága, hisz `p|x+y`
`(x+y)^2-(x^2-xy+y^2) = 3·xy`
Lett egy 3-as szorzó, ami éppen a `p`!

Mondjuk p=5 esetén:
`(x^5+y^5)=(x+y)·(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)`
`(x+y)^4-(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)= ... = 5·xy(x^2+xy+y^2)`
Itt is bejött egy `p=5`-ös szorzó!

Nézzük meg `p=7`-nél is, hátha ott is hasonlóan megy:
`(x^7+y^7)=(x+y)·(x^6-x^5y+x^4y^2-x^3y^3+x^2y^4-xy^5+y^6)`
`(x+y)^6-(x^6-x^5y+x^4y^2-x^3y^3+x^2y^4-xy^5+y^6)=...=7·xy(x^2+xy+y^2)^2`
Most is bejött a 7-es szorzó.

Szóval azt csináltuk, hogy `(x^p+y^p)`-nek vettük az `(x+y)`-ad részét és kivontunk `(x+y)^(p-1)`-ből. Nézzük, általánosan hogyan van?

`(x^p+y^p)=(x+y)(x^(p-1)-x^(p-2)y+x^(p-3)y^2-...-xy^(p-2)+y^(p-1))`
`(x+y)^(p-1)-(x^p+y^p)/(x+y) = (((p-1),(1))+1)x^(p-2)y+(((p-1),(2))-1)x^(p-3)y^2+...`
A szorzótényezők olyanok, hogy amikor a `p-1` alatt páratlan van, akkor hozzáadunk 1-et, amikor páros, akkor pedig kivonunk.
Ezt fejtsd ki, kijön, hogy mindegyik tagból ki lehet emelni `p`-t.