Kérlek segítsetek!

Ha van `f(x)` és `g(v)` függvények, akkor `f @ g` azt jelenti, hogy `x` helyébe a `g` függvényt kell rakni. Vagyis `f(g(v))`. Az, hogy itt a `v` helyett is `x` van, az ne zavarjon, úgy szokták írni.

Példán azért érthetőbb:
`f(x)=5^(2x)`
és
`g(v)=log_3(v)`
`f @ g = 5^(2·g(v))=5^(2log_3(v))`
vagy `x`-szel írva:
`f @ g = h(x) = 5^(2log_3(x))`
viszont azt hiszem, érthetőbb a következő megfontolásoknál, ha `x` helyett mégiscsak `v`-t írunk:
`h(v) = 5^(2log_3(v))`

Még figyelembe kell venni az értelmezési tartományokat is!
`g(v)` értelmezési tartománya `v ∈ [4,28]`, értékkészlete pedig `[log_3(4), log_3(28)]`.
Az értékkészlet azért érdekes, mert `g(v)` értékkészlete lesz az `x` értékei, vagyis `f(x)` értelmezési tartománya. (Nem igazán így kell szabatosan fogalmazni, de így érthető.)

Tehát `g(v)` miatt `v` lehetséges értékei a `[4, 28]` intervallumban vannak.
Mi van a 4-gyel?
`log_3(3)=1`, ezért `log_3(4) > 1`
Ez rendben, 1-nél nagyobb érték bemehet `f`-be (`[1,3]` mehet be).
Mi van a 28-cal?
`27 = 3^3 -> log_3(27)=3`, ezért `log_3(28) > 3`
Ezek az értékek jönnek ki `g`-ből, ezek mennek be `f`-be. Viszont `f` értelmezési tartománya az `[1, 3]` zárt intervallum, vagyis 3-nál nagyobbak nem mehetnek bele. (1-nél kisebbek se, de azzal nincs gond, mert 1-nél kisebb nem jön ki `g`-ből)
Szóval az összetett `f @ g= h(v)` függvény értelmezési tartománya lehet-e `v ∈ [4,28]`? 4 lehet az eleje, de a 28 sok, csak 27 lehet.

Vagyis a válasz (most már `x`-szel írva) :
`f @ g = h(x) = 5^(2log_3(x)), x ∈ [4, 27]`

`g@f=g(f(x))=log_3(5^(2x))=h(x)`
és mi van az értelmezési tartománnyal?

`f(x)` értelmezési tartománya az `[1,3]` halmaz, értékkészlete `[5^(2·1),5^(2·3)] = [25,"sok"]` ki se számolom, mennyi a sok.
Csak 4-től 28-ig mehet be `g`-be, ezért `f`-ből is csak ilyen jöhet ki. Vagyis `f`-ből 25-től 28-ig jöhet ki.
Melyik `x` az, ami ha bemegy `f`-be, éppen 28 jön ki belőle?
`5^(2x)=28`
`2x=log_5(28)`
`x=log_5(28)/2`

Vagyis a `g@f=h(x)=log_3(5^(2x))` értelmezési tartománya az `x ∈ [1,log_5(28)/2]` zárt halmaz.