Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Fontos

krokavecz.dorottya00 kérdése
52
919,925,927,930 fontos
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
bongolo { Aranyérmes } válasza
919)
Ha k-tól kezdődnek a számok, akkor ez az n darab szám:
k, k+1, k+2, k+3, ... k+n-1, k+n
Ez éppen egy számtani sorozat ilyen adatokkal:
`a_1=k`
`d=1`
Ennek az n tagú sorozatnak az összege kell: `S_n`
Írd fel a tanult képlettel az összeget. Olyasmi lesz, hogy n-nel van szorozva valamilyen tört. Nos ez akkor osztható n-nel, ha a tört egész szám. Abba gondolj bele, hogy mikor lesz az a tört egész.

925)
Egy n-oldalú sokszög szögeinek összege `(n-2)·180°`
`a_1=120`
`d=5`
Írd fel ezzel is az `n` tagú sorozat `S_n` összegképletét és oldd meg ezt az egyenletet:
`S_n=(n-2)·180`
Másodfokú lesz, és 2 megoldás jön ki belőle.
1

bongolo { Aranyérmes } megoldása
927)
Találjuk ki, milyen számokkal kezdődnek a sorok?
1
1+1=2
2+2=4
4+3=7
7+4=11
11+5=16
vagyis mindig eggyel nagyobbat kell hozzáadni.
Felírhatjuk így is, ha kifejtjük a fentieket:
1
1+1
1+1+2
1+1+2+3
1+1+2+3+4
1+1+2+3+4+5
Szimpatikusabb, ha a kezdő 1-ek helyére 0-t írunk, persze ennél 1-gyel nagyobb a szám:
0
0+1
0+1+2
0+1+2+3
0+1+2+3+4
0+1+2+3+4+5
Így jobban látszik, hogy ez egy n tagú számtani sorozat összege. A számtani sorozat ilyen tulajdonságú:
`a_1=0`
`d=1`
Ennek az összegképlete ugye ez:
`S_n=n·(2·0+(n-1)·1)/2=(n·(n-1))/2`
Az n-edik sor tehát ennél 1-gyel nagyobb számmal kezdődik. Az n-edik sor k-adik száma pedig `S_n`-nél k-val nagyobb.

Ezek után ugye ki tudod számolni mind a hármat?
1

bongolo { Aranyérmes } válasza
930)
Szerintem nem fogja elhinni a tanár, hogy ezt megoldottad.... ne add be...

Először egy ronda hosszú levezetés: (a végén lesz majd egy egyszerűbb megoldás)

--------------
Legyen a számtani sorozat `a_1, d` tulajdonságú. Ekkor ugye az első n elem összege ez:
`S_n=n·(2·a_1+(n-1)·d)/2=n·(a_1-d/2)+n^2/2=b`
Az első 2n összege pedig:
`S_(2n)=2n·(2·a_1+(2n-1)·d)/2=2n·(a_1-d/2)+2n^2=c`
Vonjuk ki a másodikból az első dupláját, kiesik az első tag:
`c-2b=n^2`
Ha meg az első 4-szereséből kivonjuk a másodikat, akkor a négyzetes tag esik ki:
`4b-c=2n·(a_1-d/2)`

Az első 3n elem összege:
`S_(3n)=3n·(2·a_1+(3n-1)·d)/2=3n·(a_1-d/2)+9n^2/2=`
`=3(4b-c)/2+9/2(c-2b)=(12b-3c+9c-18b)/2=(6c-6b)/2=3(c-b)`
--------------

Na most miután kijött a megoldás, jobban belegondolva meg lehet ezt egyszerűen is oldani:
- Számtani sorozatnál egy elem éppen a két szomszédjának az átlaga.
- Nem csak a közvetlen szomszédra, hanem mondjuk az n-edik szomszédokra is igaz, hogy egy elem az n-nel előtte lévő és az n-nel mögötte lévő átlaga.
- Ezért a második n darab elem az pont az első n darabnak és a harmadik n darabnak az átlaga. Vagyis 3n elem összege ugyanaz, mint a középső n elem összegének a 3-szorosa. A második n darab elem összege pedig éppen `c-b`, tehát a válasz `3(c-b)`
2