Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Fontos
k.d00016g
kérdése
379
919,925,927,930 fontos
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
bongolo{ }
válasza
919)
Ha k-tól kezdődnek a számok, akkor ez az n darab szám:
k, k+1, k+2, k+3, ... k+n-1, k+n
Ez éppen egy számtani sorozat ilyen adatokkal:
`a_1=k`
`d=1`
Ennek az n tagú sorozatnak az összege kell: `S_n`
Írd fel a tanult képlettel az összeget. Olyasmi lesz, hogy n-nel van szorozva valamilyen tört. Nos ez akkor osztható n-nel, ha a tört egész szám. Abba gondolj bele, hogy mikor lesz az a tört egész.
925)
Egy n-oldalú sokszög szögeinek összege `(n-2)·180°`
`a_1=120`
`d=5`
Írd fel ezzel is az `n` tagú sorozat `S_n` összegképletét és oldd meg ezt az egyenletet:
`S_n=(n-2)·180`
Másodfokú lesz, és 2 megoldás jön ki belőle.
1
Még nem érkezett komment!
bongolo{ }
megoldása
927)
Találjuk ki, milyen számokkal kezdődnek a sorok?
1
1+1=2
2+2=4
4+3=7
7+4=11
11+5=16
vagyis mindig eggyel nagyobbat kell hozzáadni.
Felírhatjuk így is, ha kifejtjük a fentieket:
1
1+1
1+1+2
1+1+2+3
1+1+2+3+4
1+1+2+3+4+5
Szimpatikusabb, ha a kezdő 1-ek helyére 0-t írunk, persze ennél 1-gyel nagyobb a szám:
0
0+1
0+1+2
0+1+2+3
0+1+2+3+4
0+1+2+3+4+5
Így jobban látszik, hogy ez egy n tagú számtani sorozat összege. A számtani sorozat ilyen tulajdonságú:
`a_1=0`
`d=1`
Ennek az összegképlete ugye ez:
`S_n=n·(2·0+(n-1)·1)/2=(n·(n-1))/2`
Az n-edik sor tehát ennél 1-gyel nagyobb számmal kezdődik. Az n-edik sor k-adik száma pedig `S_n`-nél k-val nagyobb.
Ezek után ugye ki tudod számolni mind a hármat?
1
Még nem érkezett komment!
bongolo{ }
válasza
930)
Szerintem nem fogja elhinni a tanár, hogy ezt megoldottad.... ne add be...
Először egy ronda hosszú levezetés: (a végén lesz majd egy egyszerűbb megoldás)
--------------
Legyen a számtani sorozat `a_1, d` tulajdonságú. Ekkor ugye az első n elem összege ez:
`S_n=n·(2·a_1+(n-1)·d)/2=n·(a_1-d/2)+n^2/2=b`
Az első 2n összege pedig:
`S_(2n)=2n·(2·a_1+(2n-1)·d)/2=2n·(a_1-d/2)+2n^2=c`
Vonjuk ki a másodikból az első dupláját, kiesik az első tag:
`c-2b=n^2`
Ha meg az első 4-szereséből kivonjuk a másodikat, akkor a négyzetes tag esik ki:
`4b-c=2n·(a_1-d/2)`
Az első 3n elem összege:
`S_(3n)=3n·(2·a_1+(3n-1)·d)/2=3n·(a_1-d/2)+9n^2/2=`
`=3(4b-c)/2+9/2(c-2b)=(12b-3c+9c-18b)/2=(6c-6b)/2=3(c-b)`
--------------
Na most miután kijött a megoldás, jobban belegondolva meg lehet ezt egyszerűen is oldani:
- Számtani sorozatnál egy elem éppen a két szomszédjának az átlaga.
- Nem csak a közvetlen szomszédra, hanem mondjuk az n-edik szomszédokra is igaz, hogy egy elem az n-nel előtte lévő és az n-nel mögötte lévő átlaga.
- Ezért a második n darab elem az pont az első n darabnak és a harmadik n darabnak az átlaga. Vagyis 3n elem összege ugyanaz, mint a középső n elem összegének a 3-szorosa. A második n darab elem összege pedig éppen `c-b`, tehát a válasz `3(c-b)`