9)
x²+y²=25 erről tudjuk, hogy a kör középpontja az origó!
P(-4;-3) pont a kör egyik pontja.
Az érintő egyenes az érintési pontba húzott sugárra merőleges.
Az OP irányvektor lesz majd az érintő normálvektora.
OP vektor: v(0-(-4);0-(-3)) => v(4;3)
n(4;3) vektor és O(-4;-3) pont meghatározza az érintő egyenes egyenletét
n₁*x+n₂*y=n₁*x₀+n₂*y₀
4*x+3*y=4*(-4)+3*(-3)
4x+3y=-16-9
4x+3y=-25

10)
I. (x-2)²+y²=9
II. y=3
A két egyenlet meghatározza az érintési pontot.
(x-2)²+3²=9
(x-2)²=0
x=2
P(2;3)
Mivel tudjuk, hogy a kör középpontja az O(2;0) pontban van.
Így a P(2;3) pontba húzott érintő nem más, mint az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ennek az egyenesnek az egyenlete y=3!

11)
C(-1;-5)
Adott pont az x tengelytől 5 egységre van, míg az y tengelytől 1 egységre, így már tudjuk is a sugarak nagyságát.
A kör egyenlete pedig: (x-u)²+(y-v)²=r²
a) (x+1)²+(y+5)²=5² => (x+1)²+(y+5)²=25
b) (x+1)²+(y+5)²=1² => (x+1)²+(y+5)²=1

13)
Ahhoz, hogy egy AB szakasz fölé derékszögű háromszöget szerkeszthessünk a Thalesz tételt használjuk. AB, mint átmérő fölé kanyarított kör minden pontja (kivéve a két végpontot) derékszögű háromszöget fog alkotni.
Tehát először is határozzuk meg AB szakasz felezőpontját, ez lesz a kör középpontja.
O((4+8)/2;(2+4)/2) => O(6;3)
A sugár: AO távolsága d=√ (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²  Szerencsére nekünk amúgy is majd a négyzete kell!
r²=(8-6)²+(4-3)²=> r²=4+1 => r²=5
A körünk egyenlete:
(x-6)²+(y-3)²=5!
Ahhoz, hogy egyenlő szárú háromszögünk legyen, ahhoz az O pontba kell húzni egy AB szakaszra merőleges egyenest. Ez az egyenes két pontot fog megadni.
AB irányvektora: v(x₂-x₁;y₂-y₁) => v(8-4;4-2) => v(4;2) Ez a vektor lesz a merőleges egyenes normálvektora.
4*x+2*y=4*6+2*3 => 4*x+2y=30 => 2x+y=15
Az egyenlet rendszerűnk a következő lesz:
I. (x-6)²+(y-3)²=5
II. 2x+y=15 => y=15-2x
II-t behelyettesítem I-be!
(x-6)²+((15-2x)-3)²=5
x²-12x+36+(12-2x)²=5
x²-12x+36+144-48x+4x²=5
5x²-50x+175=0
x²-12x+35=0
x₁₂=(12±√ 144-4*35 )/2 => x₁₂=(12±√ 4 )/2
x₁=7, x₂=5!
Ezekből kijön y₁=15-2*7=1, illetve y₂=15-2*5=5
Tehát a két pont, ahol egyenlő szárú háromszögünk lesz C₁(7;1), illetve C₂(5;5)!

14)
Hasonlóan kell megoldani, mint a 13) feladatot. Itt is a Thalesz tételt kell alkalmazni!
AB szakasz felező pontja:
O((-2+5)/2;(7+8)/2) => O(1,5;7,5)!
AO távolság: d²=(-2-1,5)²+(7-7,5)²=> d²=12,25+0,25 => d²=12,5
A kör egyenlete:
(x-1,5)²+(y-7,5)²=12,5
Egyenletrendszer
I. (x-1,5)²+(y-7,5)²=12,5
II. x-4=0 => x=4
II-t behelyettesítem I-be!
(4-1,5)²+(y-7,5)²=12,5
6,25+y²-15y+56,25=12,5
y²-15y+50=0
y₁₂=(15±√ 225-4*50 )/2
y₁₂=(15±√ 25 )/2
y₁=10, illetve y₂=5!
A két pontunk C(4;5), illetve D(4;10)!
Ebből a két pontból látszik AB szakasz merőlegesen!

15)
A körünk egyenlete:
x²+y²=36 => A kör középpontja O(0;0)
A kör sugarai, amit az érintési pontba húzunk, merőlegesek az érintőkre.
Így határozzuk meg az egyenesünk irányvektorát. Amit aztán felhasználunk a kör középpontjába húzott egyenes normálvektoraként.
Tehát az irányvektor az egyenesből: 4x-3y=7 => v(3;4)
Origóba húzott merőleges egyenes egyenlete:
3x+4y=0
Egyenletrendszer:
I. x²+y²=36
II. 3x+4y=0 => y=-3/4x
II-t behelyettesítem I-be!
x²+(-3/4x)²=36
x²+9/16x²=36
7/16x²=36
x²=576/25
x₁=√ 576/25 =4,8=> y₁=-√ 72/20 =-3,6
x₂=-√ 576/25 =-4,8 => y₂=√ 72/20 =3,6
A két pontunk: C₁(4,8;-3,6), illetve C₂(-4,8;3,6)
Ebbe a két pontba kell behúznunk a két egyenest!
irányvektorunk, amit már kiszámoltunk v(3,4)
Egyik egyenes:
4x-3y=4*4,8-3*(-3,6) => 4x-3y=30
Másik egyenes:
4x-3y=4*(-4,8)-3*3,6 => 4x-3y=-30

16)
A háromszög köré írható kör középpontját úgy határozzuk meg, hogy az oldalfelező merőlegeseket rajzoljuk meg.
Ha felrajzolod a három pontot, akkor már látszani fog, hogy ez a pont maga az Origó lesz.
A(-2;0), B(0;2), C(2;0)
Kiszámolva:
AB felező pontja: D((-2+0)/2;(0+2)/2) => D(-1;1)
AB irányvektora: v₁(0-(-2);2-0) => v₁(2;2) (ez lesz majd a normálvektora a felező merőlegesnek)
AB felező merőleges egyenlete:
2x+2y=2*(-1)+2*1 => 2x+2y=-2+2 => 2x+2y=0 => x+y=0
BC felező pontja: E((0+2)/2;(2+0)/2) => E(1;1)
BC irányvektora: v₂(2-0;0-2) => v₂(2;-2) (ez lesz majd a normálvektora a felező merőlegesnek)
BC felező merőleges egyenlete:
2x-2y=2*1-2*1 => 2x-2y=2-2 => 2x-2y=0 => x-y=0

A két egyenes közös pontja lesz a kör középpontja.
I. x+y=0
II. x-y=0 => x=y
II-t behelyettesítem I-be:
y+y=0 => 2y=0 => y=0 visszahelyettesítem: x=0!
Kijött, amit már az elején is tudtunk, hogy a kör középpontja az origó: O(0;0)
OA távolság:
d²=(0-(-2))²+(0-0)² => d²=4
A kör egyenlege:
x²+y²=4