1)
kör egyenlete: (x-u)²+(y-v)²=r², ahol a középpont koordinátája O(u,v), sugara r!
a) C(3;-2) r=4 => (x-3)²+(y+2)²=16
b) C(-4;1) P₀(5;-3) => (x+4)²+(y-1)²=(5+4)²+(-3-1)² => (x+4)²+(y-1)²=81+16 => (x+4)²+(y-1)²=97
c) C(0;0) r=7 => x²+y²=49
d) C(-5;0) P₀(5;-3) => (x+5)²+(y-0)²=(5+5)²+(-3-0)² => (x+5)²+(y-0)²=100+9 => (x+5)²+(y-0)²=109

2)
kör egyenlete: (x-u)²+(y-v)²=(x₀-u)²+(y₀-v)², ahol a középpont koordinátája O(u,v), a másik pont P₀(x₀;y₀)!
C(0;0), P₀(-2;5)!
(x-0)²+(y-0)²=(-2-0)²+(5-0)² => x²+y²=4+25 => x²+y²=29

3)
kör egyenlete: (x-u)²+(y-v)²=r², ahol a középpont koordinátája O(u,v), sugara r!
Teljes négyzetté kell alakítani az egyenlet megfelelő részeit!
a²±2ab+b² => (a±b)²

a)x²+y²+4y=0
(x-0)² => x²-2*x*0+0²=> x²!
(y+2)² => y²+4y+4 => y²+4y+4-4
átalakított egyenletünk:
(x-0)²+(y+2)²-4=0 =>(x-0)²+(y+2)²=4
Ebből az egyenletből látszik, hogy a középpont C(0;-2) a r=2

b) x²+y²-4x-2y-4=0
(x-2)² => x²-4x+4 => (x-2)²-4
(y-1)² => y²-2y+1 => (y-1)²-1
átalakított egyenletünk:
(x-2)²-4+(y-1)²-1-4=0 => (x-2)²+(y-1)²=9
Ebből az egyenletből látszik, hogy a középpont C(2;1) a r=3

c)2x²-8x+4y=40-2y²
Először is egyszerűsítenék 2-vel: x²-4x+2y=20-y², aztán összerendezném, ami összetartozik!
x²-4x+y²+2y=20
(x-2)² => x²-2x+4 => (x-2)²-4
(y+1)² => y²+2y+1 => (y+1)²-1
(x-2)²-4+(y+1)²-1=40
(x-2)²+(y+1)²=45
Ebből az egyenletből látszik, hogy a középpont C(2;-1) a r=√ 45 

d) x²-y²+8x+6y=12
(x+4)² => x²+8x+16 => (x+4)²-16
(y+3)² => y²+6y+9 => (y+3)²-9
(x+4)²-16+(y+3)²-9=12
(x+4)²+(y+3)²=37
Ebből az egyenletből látszik, hogy a középpont C(-4;-3) a r=√ 37 

e) x²+y²-6x+4y=9
(x-3)²=> x²-6x+9 => (x-3)²-9
(y+2)² => y²+4y+4 => (y+2)²-4
(x-3)²-9+(y+2)²-4=9
(x-3)²+(y+2)²=22
Ebből az egyenletből látszik, hogy a középpont C(3;-2) a r=√ 22 

4)
Igen x=7-t kell behelyettesíteni az egyenletbe és megoldani y-ra.
2x²+2y²-36x-32y+160=0
x=7!
2⁴⁹+2y²-252-32y+160=0!
De biztos, hogy nem nyomdahibás a feladat (tekintettel, hogy lemarad előle a 4-es szám)? Van/lesz benne egy ordenáré nagy szám 2⁴⁹=5,6*10¹⁴. Ahhoz, hogy megközelítsük a 0-t a másik tagnak negatívnak kéne lenni, ami szintén egy ordenáré nagy számnak kéne lenni. Pozitív szám bármely hatványa pozitív. Így gyanítom, hogy nincs a valós számok halmazán így megoldása.

Újra végig gondolva a dolgokat a következő egyenletre gondolok:
2x²+2y²-36x-32y+160=0!
Egyszerűsítek!
x²+y²-18x-16y+80=0
Teljes négyzetek előállítása!
(x-9)² => x²-18x+81 => (x-9)²-81
(y-8)² => y²-16y+64 => (y-8)²-64
Ahogy a feladat említi az "alakzat" egyenlete:
(x-9)²-81+(y-8)²-64+160=0
(x-9)²+(y-8)²+15=0
Na most a következő gondba futottunk bele: + 15 miatt nincs valós megoldása.
Ha a +15 netán -15 lenne, akkor kapnánk egy kör egyenletét.

5)
A(3;-4), B(7;-1)
Mivel ez a két pont egy kör átmérőjének két végpontja, így tudjuk, hogy a középpont a két pont között félúton van. A sugár pedig a középpont és valamelyik végpont távolsága lesz!
O((3+7)/2;(-4-1)/2) => O(5;-2,5)
AO távolság:
r=√ (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² 
r=√ (5-3)²+(-2,5+4)²  => r=√ 4+2,25  => r=2,5
A kör egyenlete:
(x-5)²+(y+2,5)²=6,25

6)
(x+1)²+(y-4)²=36
Ebből tudjuk, hogy a középpontja C(-1;4), r=6!
a)
Ha a középpontot az x tengelyre tükrözzük, akkor az C'(-1;-4)
(x+1)²+(y+4)²=36
b)
Ha a középpontot az y tengelyre tükrözzük, akkor az C"(1;4)
(x-1)²+(y-4)²=36
c)
Ha a középpontot az origóra tükrözzük, akkor az C'"(1;-4)
(x-1)²+(y+4)²=36
d)
Ha a középpontot az x=y egyenesre tükrözzük, akkor az C""(4;-1)
(x-4)²+(y+1)²=36

7)
A körünk középpontja nem más, mint a két egyenes közös pontja. Így meg kell oldanunk először is az egyenletrendszert:
I. x+2y=12
II. x-y=0
II-ből kifejezem x-t, majd azt behelyettesítem I-be!
II. x=y
y+2y=12
3y=12
y=4 => x=4
Tehát a körünk középpontja O(4;4)
(x-4)²+(y-4)²=(0-4)²+(0-4)²
(x-4)²+(y-4)²=32

8)
x²+y²=100 => C(0;0) r=10
A két érintő pont:
x²+36=100 => x²=64 => x₁=8, x₂=-8
P(8;6), Q(-8;6)
Ebbe a két pontba kell az érintőket húznunk.
Azt kell tudni, hogy az érintő és az érintési pontba húzott sugár derékszöget zár be.
Ebből tudjuk, hogy az egyik pontba húzott sugár irányvektora: v(8;6) vagy egyszerűbben v(4;3)
A másik pontba húzott sugár u(-8;6) egyszerűbben u(-4;3)!
Ez a két irányvektor az érintők normálvektora!
n₁x+n₂y=n₁x₀+n₂y₀, ahol n(n₁;n₂) P₀(x₀;y₀)!
P pontba húzott érintő egyenlete!
4x+3y=4*8+3*6 => 4x+3y=50
Q pontba húzott érintő egyenlete!
-4x+3y=(-4)*(-8)+3*6 => -4x+3y=50