Egyenes egyenlete

Amire szükségünk lesz a feladatok megoldásánál!
irányvektor: v(v₁;v₂)
normálvektor: n(n₁;n₂)
adott pont: P(x₀;y₀)
egyenes egyenlete normál vektor segítségével: n₁*x+n₂*y=n₁*x₀+n₂*y₀
egyenes egyenlete irányvektor segítségével: v₂*x-v₁*y=v₂*x₀-v₁*y₀
két pont által meghatározott egyenes egyenlete: (x₂-x₁)(y-y₁)=(x-x₁)(y₂-y₁)

11)
irányvektor:
v(x₂-x₁;y₂-y₁) =>v(-3-3;5-2) => v(-6;3) egyszerűsítve v(-2;1)
egyenes irányvektoros egyenlete:
v₂x-v₁y=v₂x₀-v₁y₀, ahol P(x₀;y₀) pont nem más, mint az origó
1*x+2*y=1*0+y*0 => x+2y=0 vagy ha másik irányba néz az irányvektorod -x-2y=0
A megoldásod az A és B által meghatározott egyenes egyenlete, de nekünk az origón áthaladó kellett.

12)
e egyenesünk egyenlete: y=2x+3 átrendezve, hogy tudjuk az irány- és normálvektorát 2x-y=-3
irányvektor: v(-1;2)
normálvektor: n(2;-1)
a) Párhuzamos a két egyenes!
ax-y+5=0
a=2 =>2x-y+5=0
b) Merőleges a két egyenes!
ax-y+5=0
a=0,5 => 0,5x-y+5=0

13)
P(2;1)
Q pontunk a két egyenes metszéspontja! Metszéspont meghatározása:
I. 2x+3y=7
II. 5x+y=-2 =>y=-5x-2
II-t behelyettesítem I-be!
2x+3(-5x-2)=7
2x-15x-6=7
13x=-13
x=-1 => y=-5*(-1)-2 => y=5-2 => y=3
Q(-1;3)
Mivel P pont rajta van a 2x+3y=7 egyenesen, és Q is rajta van, hiszen a két egyenes közös pontja, így elég a 2x-3y=7 egyenes irányvektorát meghatározni!
irányvektorunk: v(3;2), valamint ennek a vektornak valamilyen többszöröse pl: v(6;4) vagy, v(-1,5;-1)

14)
P(-3;2), v(1;-5)
egyenesünk egyenlete:
v₂x-v₁y=v₂x₀-v₁y₀ => -5x-y=(-5)*(-3)-1*2 =>-5x-y=15-2 => -5x-y=13
x=2 => -5*2-y=13 => -10-y=13 => y=-23
Tehát a megoldásod jó!

15)
Ez kicsit hasonlít a 13) feladathoz.
P(5;2)
Q pont a két egyenes metszéspontja!
I. 5x-4y-14=0
II. 2x-3y-3=0
I. egyenletet megszorzom 3-mal, a II. egyenletet megszorzom 4-gyel!
I. 15x-12y-42=0
II 8x-12y-12=0
I-ből kivonom a II-at.
15x-12y-42-8x+12y+12=0
7x-30=0
x=30/7~4,29 => 5*30/7-4y-14=0 => y=13/7~1,86
Q(30/7;13/7)
A két pont által meghatározott irányvektor:
v(30/7-5;13/7-2) => v(-5/7;-1/7)
v₂*x-v₁*y=v₂*x₀-v₁*y₀ => -1/7x+5/7y=-1/7*5+5/7*2 =>-1/7x+5/7y=5/7 => -x+5y=5

16)
A kérdés kicsit pongyola, mert merre harmadoló? Lényeg persze az, hogy hasonló módon számoljuk:
A(4;-1), B(-2;8)
A-hoz közelebbi harmadolópont:
H₁((4+2*(-2))/3;(-1+2*8)/3) => H₁(0;5)
B-hez közelebbi harmadolópont:
H₂((2*4-2)/3;(2*(-1)+8)/3) => H₂(2;2)

17)
a) súlyvonal: az egyik csúcsra és a szemben lévő oldalfelező pontra illeszkedő egyenes.
B és C felező pontja: Sa((3-3)/2;(-2+0)/2) =>Sa(0;-1)
A(1;2), Sa(0;-1)
Egyenes egyenlete (y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
(y-2)/(x-1)=(-1-2)*(0-1) => (y-2)/(x-1)=(-3)/(-1) => (y-2)=3(x-1) => y-2=3x-3 => -3x+y+1=0
b) a magasság: csúcsból a szemben lévő oldalra bocsátott merőleges egyenes
A és C irányvektora: v(1+3;2-0) => v(4;2) Ez nem más, mint a B-be állítandó normál vektor!
n₁*x+n₂*y=n₁*x₀+n₂*y₀ => 4x+2y=4*3+2*(-2) => 4x+2y=12-4 => 4x+2y=8 => 2x+y=4

A metszeteket megkapod, ha az egyenletbe behelyettesíted x=0-t, illetve y=0-t! [a) y=-1, x=1/3, b) y=4, x=2]
(Ez amúgy egy egyenlőszárú derékszögű háromszög!)

18)
Pont és egyenes távolsága nem más, mint a pontból az egyeneshez húzott merőleges metszéspontja és a pont távolsága.
Egyenes irányvektora: v₂*x-v₁*y=v₂*x₀-v₁*y₀ ebből kiindulva 3x-4y+8=0 egyenlet irányvektora v(4;3)
P pontba húzott egyenes n(4;3) normálvektorral:
n₁*x+n₂*y=n₁*x₀+n₂*y₀ => 4x+3y=4*1+3*9 => 4x+3y=31
A két egyenes közös pontja:
I. 3x-4y+8=0
II. 4x+3y-31=0
I-t 3-mal, II-t 4-gyel szorozva:
I. 9x-12y+24=0
II. 16y+12y-124=0
I-t és II-t összeadva:
9x-12y+24+16x+12y-124=0
25x=100
x=4 => 4*4+3*y=31 => y=5
T(4;5)
Két pont távolsága:
d=√ (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² 
d=√ (1-4)²+(9-5)²  => d=√ 9+16  => d=√ 25  => d=5
Nem tudom, hogy neked miért jött ki -5, amikor a távolság csak pozitív lehet!

19)
Középvonal az oldal felezőpontokat összekötő egyenes!
A és B felezőpontja: F₁((2+5)/2;(5-3)/2) => F₁(7/2;1)
A és C felezőpontja: F₂((2+10))/2;(5-8)/2) => F₂(6;-3/2)
B és C felezőpontja: F₃((5+10)/2;(-3-8)/2) => F₃(15/2;-11/2)
Innen már könnyű megadni az egyenes egyenletét!
F₁ és F₂ pontok közötti egyenlet:
(y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
(y-1)/(x-7/2)=(-3/2-1)/(6-7/2) => (y-1)/(x-7/2)= -1 => (y-1)=-x+7/2 => x+y=9/2
Gyakorlásként számold ki az F₁ és F₃, valamint az F₂ és F₃ egyenletét
Ellenőrzésként megadom a megoldásokat:
F₁F₃ => 26x+16y-107=0
F₂F₃ => 16x+6y-87=0