Egy X eloszlás komplex momentumgeneráló függvénye ez:
`ℳ(z)=E[e^(zX)]=int_(-∞)^∞ e^(zx)·f_X(x)\ dx`
A komplex Laplace trafó majdnem ugyanaz:
`ℒ(z)=E[e^(-zX)]=int_(-∞)^∞ e^(-zx)·f_X(x)\ dx`

Az exp.eloszlás sűrűségfűggvénye:
`f_X(x) = λ·e^(-λx)` ha `x ≥ 0` (egyébként 0)

Az `x≥0` miatt 0-tól kell indítani az integrálást
`ℳ(z)=int_0^∞ e^(zx)·λ·e^(-λx)\ dx=λ·int_0^∞ e^((z-λ)x)\ dx=`
`=λ·[e^((z-λ)x)/(z-λ)]_0^∞=λ/(z-λ)·[e^((z-λ)x)]_0^∞`
A komplex Laplace majdnem ugyanaz, csak `z-λ` helyett `-z-λ` van benne mindenhol.
Nézzük közösen az `[e^(wx)]_0^∞` értékét (ahol `w=z-λ` vagy `w=-z-λ`):
- `x=0` esetén 1, ez tiszta, egyszerű eset
- `x→∞` esetén attól függ, hogy a kitevő pozitív vagy negatív -- legalábbis ha valós lenne a `w`, de komplex: `w=a+ib`. Ilyenkor az számít, hogy a valós rész pozitív vagy negatív, mindjárt megmutatom, miért:

`lim_(x→∞) e^((a+ib)x)=lim_(x→∞) e^(a·x)·lim_(x→∞) e^(i·b·x)`
A második tagban `b·x`-nek csak a `2π`-vel való modulója számít, hisz az periodikus lesz `2π`-vel. Az tehát a határérték szempontjából valamilyen véges érték. Ha az első tag nullához tart, akkor az egész nullához fog tartani, más esetben nem lesz határérték. Az első tag pedig akkor tart nullához, ha `a` negatív.

Szóval `[e^(wx)]_0^∞` akkor van értelmezve, ha `Re(w) lt 0`, és ekkor az értéke `0-1`
- ha `w=z-λ`, akkor tehát `Re(z-λ) lt 0` kell
- ha `w=-z-λ`, akkor tehát `Re(-z-λ) lt 0` kell

Tehát:
`ℳ(z)=λ/(λ-z)` ha `Re(z) lt λ`
`ℒ(z)=λ/(λ+z)` ha `Re(-z) lt λ` vagyis `Re(z) gt -λ`

A közös részt most már tudod, ugye?