1)
Gondolom a szabályos háromszög megszerkesztése nem jelent gondot! Ha még is, akkor a következő a menet. Vegyél fel egy tetszőleges egyenesen egy tetszőleges szakaszt. Ezzel a szakasz nagysággal kell először az egyik végpontból, majd a másik végpontból tenni egy-egy körívet. A két körív metszéspontja lesz a háromszögünk harmadik csúcsa. A súlypontot megkapod, ha az oldalak felezőpontját összekötöd a szemben lévő csúcsokkal. A súlyvonalak metszéspontja adja a súlypontot. Mivel a háromszögek aránya lambda=½, így a már berajzolt súlyvonalakat hívjuk segítségül. A súlypont és a csúcs között lévő szakaszt elfelezve (hiszen a hasonlóság aránya ½) kapjuk a transzformáció által meghatározott új csúcsokat.

2)
A befogó tétel:
Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz b = √ qc  !
A derékszögű háromszög befogói 5, illetve 12. Mivel ez két nevezetes befogó nagyság, ezért rögtön tudjuk, hogy az átfogó 13. (Ha ez újdonság volt, akkor Pitagorasz szerint c=√ 5²+12²  => c=√ 25+144  => c=√ 169 =13!)
Felhasználva a befogó tételt: b = √ qc   => q=b²/c => q=144/13=~11,077
Ugyan ezt elsütöm a másik befogóra: a=√ pc   => p=a²/13 => p=25/13=~1,923
Felírom a két terület nagyságát:
T₁=(q*mc)/2
T₂=(p*mc)/2
Mivel a két terület arányát keresem: T₁/T₂=((q*mc)/2)/((p*mc)/2), Törtet törttel úgy osztunk, hogy a reciprokkal szorzunk!
T₁/T₂=((q*mc)/2)*(2/(p*mc)) Egy csomó dolog kiesik, mert tudunk egyszerűsíteni.
T₁/T₂=q/p! => T₁/T₂=(144/13)/(25/13) => T₁/T₂=(144/13)*(13/25)=144/25=5,76!
És akkor levonhatjuk a következtetést is, hogy a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága a háromszög területét a befogók négyzetének arányában osztja!