Lagrange módszer. optimalizálás

`f(x)=4x_1+x_1^2+8x_2+x_2^2`
Nem írtad, de bizonyára a függvény szélsőértékét keresed az `x_1+x_2=180` feltétellel.

A feltételt át kell alakítani null-alakra: `x_1+x_2-180=0`
és ennek a `λ`-szorosát hozzáadva az eredeti függvényhez kapjuk a Lagrange függvényt:
`L(x)=4x_1+x_1^2+8x_2+x_2^2+λ(x_1+x_2-180)`
(Megjegyzés: ha a feltétel teljesül, akkor 0-nak a lambda-szorosát adtuk hozzá, szóval ez is `f(x)`-szel azonos értéket vesz fel.)

Ennek a szélsőértékei lesznek `f(x)` szélsőértékei a feltétel mellett.

Vagyis kell venni a parciális deriváltakat, amiknek 0-nak kell lenniük:
`(∂L)/(∂x_1)=4+2x_1+λ=0`
`(∂L)/(∂x_2)=8+2x_2+λ=0`
Ez 2 egyenlet és 3 ismeretlen (`x_1, x_2, λ`). Van még a harmadik egyenlet is:
`x_1+x_2=180`
Ezt az egyenletrendszert kell megoldani.
Most pl. összeadjuk az első két egyenletet és behelyettesítjük a harmadikat:
`12+2·180+2λ=0`
`λ=-186`
De nem a λ kell nekünk, hanem az `x`, úgyhogy tovább kell csinálni:
`4+2x_1-186=0 \ \ \ → \ \ \ x_1=91`
`8+2x_2-186=0 \ \ \ → \ \ \ x_2=89`

A függvényérték `f(91,89)=4·91+91^2+8·89+89^2=...` nem számolom ki.

Meg kell még állapítani, hogy itt milyen szélsőértéke van. Azt a legjobb úgy, hogy kiszámítjuk a Hesse-mátrixot a második deriváltakból:
`(∂^2L)/(∂x_1^2)=2`
`(∂^2L)/(∂x_2^2)=2`
`(∂^2L)/(∂x_1∂x_2)=(∂^2L)/(∂x_2∂x_1)=0`
Vagyis a mátrix ez:
`((2,0),(0,2))`
Ha maradna benne `x_1,x_2`, akkor be kell helyettesíteni a `91,89`-et, és úgy kellene nézni, hogy definit-e.
Ez pozitív definit (a bal felső eleme is és a determinánsa is pozitív), tehát feltételes lokális minimum van ezen a helyen az adott feltétel szerint.

A többit is hasonlóan csináld meg.