Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek beadandó.
sliimshady51
kérdése
1435
Egy térképhez rögzített koordinátarendszerben (ahol mindkét tengelyen 1.4 km az egység) az A és B falvak koordinátái: A(-1;4), B(8;7). Az országút egyenlete y = 1. Az országúton buszmegállót (jelölje M) akarnak építeni a két falutól egyenlő távolságra.
a) Hol legyen ez, ha tudjuk, hogy a két falu és az országút sík terepen van?
b) A buszmegállóból egyenes utakat építenek mindkét faluba. Mennyibe kerül az építkezés ha 1 km út építési költsége 126 millió Ft?
c) Mekkora szöget zár be M-nél a két faluba vezető út?
a) Hol legyen ez, ha tudjuk, hogy a két falu és az országút sík terepen van?
b) A buszmegállóból egyenes utakat építenek mindkét faluba. Mennyibe kerül az építkezés ha 1 km út építési költsége 126 millió Ft?
c) Mekkora szöget zár be M-nél a két faluba vezető út?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek
matek
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Törölt
válasza
·Az adatokat ábrázolhatod egy egyszerű kétdimenziós Descartes-féle koordinátarendszerben.
Az, hogy M egyenlő távolságra van a két falutól, azt jelenti, hogy ha felveszel egy-egy kört A és B középonntal, azonos sugárral, akkor azok (valamenyik) metszéspontjában lesz M. Rajzolj le egy ilyen helyzetet és hamar beláthatod, hogy így van (a sugárnak persze elegendően nagynak kell lenni ahhoz, hogy messe egymást a két kör)!
De az is kikötés, hogy M az országúton van (M ∈ y = 1)
Tehát olyan sugarú körök kellenek, amik pont olyan pontban metszik egymást, ami rajta van az y=1 egyenesen, azaz y koordinátája 1.
A fentiek alapján tehát van két körünk:
(a kör egyenlete alapján írom fel őket; gondolom azt ismered)
cA: (x + 1)2 + (y - 4)2 = r2
cB: (x - 8)2 + (y - 7)2 = r2
A jobboldal mindkét egyenletben megegyezik, így egyenlővé teheted egymással a bal oldalakat. Ekkor olyan egyenletet kapsz, amiben két ismeretlen van, ezt nem tudod megoldani. Igen ám, de fentebb megállapítottuk, hogy y-nak 1-nek kell lennie, amit beírhatsz az egyenletbe és csak x marad, mint ismeretlen. Ha megoldod (ki fog esni a másodfokú tag), kapsz egy eredményt x-re. Nos, y=1 egyenes ezen x koordinátában lévő pontjában kell hogy legyen M!
b)
Ki kell számítani az M és az A, illetve B pontok közti távolságokat, amit egységben kapunk meg. Egy egységnyi út ára adott.
c)
Két egyenes egyenletét fel tudod írni két az egyenesen lévő pont koordinátáival:
y = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1) + y1
Így felírhatod AM és BM egyeneseket, y = mx + c alakakban. Kiolvasható lesz a meredekség, amiből fel tudsz rajzolni egy vektort, aminek pont olyan a meredeksége (pl ha a meredekség 2, akkor ez a vektor (amit irányvektornak csúfolnak) lehet (1,2), de lehet (2,4) is, mindegy. Ha megvan a két egyenes irányvektora, már csak a kettő szögét kell kiszámolni, amit a vektorok skaláris szorzatával számolhatsz:
v · w = |v| |w| cos(β)
v · w = xv xw + yv yw
Csak β ismeretlen, ez a vektorok szöge!
Az, hogy M egyenlő távolságra van a két falutól, azt jelenti, hogy ha felveszel egy-egy kört A és B középonntal, azonos sugárral, akkor azok (valamenyik) metszéspontjában lesz M. Rajzolj le egy ilyen helyzetet és hamar beláthatod, hogy így van (a sugárnak persze elegendően nagynak kell lenni ahhoz, hogy messe egymást a két kör)!
De az is kikötés, hogy M az országúton van (M ∈ y = 1)
Tehát olyan sugarú körök kellenek, amik pont olyan pontban metszik egymást, ami rajta van az y=1 egyenesen, azaz y koordinátája 1.
A fentiek alapján tehát van két körünk:
(a kör egyenlete alapján írom fel őket; gondolom azt ismered)
cA: (x + 1)2 + (y - 4)2 = r2
cB: (x - 8)2 + (y - 7)2 = r2
A jobboldal mindkét egyenletben megegyezik, így egyenlővé teheted egymással a bal oldalakat. Ekkor olyan egyenletet kapsz, amiben két ismeretlen van, ezt nem tudod megoldani. Igen ám, de fentebb megállapítottuk, hogy y-nak 1-nek kell lennie, amit beírhatsz az egyenletbe és csak x marad, mint ismeretlen. Ha megoldod (ki fog esni a másodfokú tag), kapsz egy eredményt x-re. Nos, y=1 egyenes ezen x koordinátában lévő pontjában kell hogy legyen M!
b)
Ki kell számítani az M és az A, illetve B pontok közti távolságokat, amit egységben kapunk meg. Egy egységnyi út ára adott.
c)
Két egyenes egyenletét fel tudod írni két az egyenesen lévő pont koordinátáival:
y = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1) + y1
Így felírhatod AM és BM egyeneseket, y = mx + c alakakban. Kiolvasható lesz a meredekség, amiből fel tudsz rajzolni egy vektort, aminek pont olyan a meredeksége (pl ha a meredekség 2, akkor ez a vektor (amit irányvektornak csúfolnak) lehet (1,2), de lehet (2,4) is, mindegy. Ha megvan a két egyenes irányvektora, már csak a kettő szögét kell kiszámolni, amit a vektorok skaláris szorzatával számolhatsz:
v · w = |v| |w| cos(β)
v · w = xv xw + yv yw
Csak β ismeretlen, ez a vektorok szöge!
0
- Még nem érkezett komment!