Egyenes egyenlete

1. Hiányzik az egyenes egyenlete...

2. Ha egy pont illeszkedik az egyenesre, akkor az egyenes egyenletébe helyettesítve a pont koordinátáit azonosságot kapsz.
Szóval írd be az x=1 és y=-1 értékeket és nézd meg, hogy a bal oldalon 7 jön-e ki.

3. A függőleges tengelyre az a jellemző, hogy x=0.
A vízszintes tengelyre az a jellemző, hogy y=0.
Ez tiszta? Gondolj bele kicsit...
Tehát pl. hol metszi a függőleges tengelyt? Írjunk az x helyébe nullát:
`3·0+5y=30`
`y=6`
Meg is van, hogy hol metszi.
Hasonlóan nézd meg azt is, hol metszi a vízszintes tengelyt.
A kimetszett háromszög egy derékszögű háromszög, aminek két befogója pont olyan hosszú, ahol metszi a tengelyeket. A terület pedig `(a·b)/2` (ha `a` és `b` pontokban metszi a tengelyeket).

4. a) A B csúcsból az AC oldalra kell merőlegeset állítani. Kellene AC egyenlete:
Az A-ból C-be menő irányvektor az, amit úgy kapunk, hogy C koordinátájából kivonjuk A-t:
`v=(4;"-4")-("-1";8)=(4-("-1");("-4")-8)=(5;"-12")`
Az ilyen irányvektorú egyenesre (AC-re) merőleges a B-n átmenő magasságvonal, aminek az egyenletét keressük. Mivel az merőleges, `v` épp annak az egyenesnek a normálvektora. Az pedig szuper, hisz egyenes egyenletét legegyszerűbb a normálvektorral felírni: (a B(7;2) ponton kell átmenjen)
`v_x·bb"x"+v_y·bb"y"=v_x·7+v_y·2`
vagyis
`5bb"x"-12bb"y"=5·7-12·2=11`
Ez a magasságvonal egyenlete.

4.b) Ehhez kell az AC egyenes egyenlete is...
Annak normálvektora az, ami `v` -re merőleges. Fel kell cserélni a koordinátáit, és az egyiket negálni (a -12 negatív, azt érdemes negálni, pozitív lesz):
`n=(12;5)`
Ezzel a normálvektorral az A(-1;8) ponton átmenő egyenes egyenlete:
`n_x·bb"x"+n_y·bb"y"=n_x·(-1)+n_y·8`
`12bb"x"+5bb"y"=12·(-1)+5·8=28`

A B csúcs távolsága kell ettől az egyenestől. Az egyenes egyenletét ilyen formában érdemes felírni:
`12bb"x"+5bb"y"-28=0`
Az `(x_1;y_1)` pont távolsága ettől az egyenestől ilyen képlettel jön ki:
`d=|12·x_1+5·y_1-28|/sqrt(12^2+5^2)`
Most a (7;2) pont távolsága kell:
`d=|12·7+5·2-28|/sqrt(12^2+5^2)`
Számold ki...

4.c)
Ezt már nem csinálom meg, hasonlóan megy: az egyenes az A és B pontok között félúton kell elmenjen, vagyis vegyed az A és B koordinátáinak az átlagát. Aztán fel kell írni AB irányvektorát, ez pont a merőlegesnek a normálvektora. Ezzel és a pont koordinátájával pedig írd fel az egyenletet.

5. Az egyenes egyenletéből először ki kell találni az egyenes normálvektorát. Az nagyon egyszerűen leolvasható: (3; -4)
A merőlegesnek ez az irányvektora. Az erre merőleges vektor lesz a keresett egyenesnek a normálvektora: (4;3)
Végül van egy A pontod és az egyenes normálvektora, írd fel az egyenletet ugyanúgy, mint feljebb.

6. Az S a súlypont. Az éppen az A, B és C pontok koordinátáinak az átlaga:
`S=(A+B+C)/3`
`(0;5)=((-4;1)+(2;3)+(x;y))/3=((-4+2+x)/3;(1+3+y)/3)`
Vagyis:
`0=(-4+2+x)/3`
`5=(1+3+y)/3`
Fejezd be...