Azt ki tudjuk számolni, hogy a 240029 számot 24-gyel osztva 5 maradékot ad!
Ezt a számot felírhatjuk így is: 24n+5
Ha ezt négyzetre emeljük, akkor (24n+5)² => 24²n²+24*5*n+25! Ebből az összeadásból az első két tag osztható 24-gyel, ezzel nem kell foglalkozni. A harmadik tag a 25 egy maradékkal osztható 24-gyel!
Nézzük meg a (24n+5)³=(24n)³+(24n)²*5+(24n)*5²+5³ Itt az 5³-on kivételével minden tag osztható 24-gyel! 5³=125. A 125 öt maradékkal osztható 24-gyel!
Az előző két megállapítást figyelembe véve a (24n+5)2k (ahol k természetes szám) mindig 1 maradékot fog adni, míg (24n+5)2k+1 5 maradékot ad.
Mivel 240029⁸⁰⁰¹ szám páratlan hatványra van emelve ezért a 24-gyel osztás 5 maradékot ad!

csettlik megoldása középiskolás szinten tökéletes, egyetemi számelmélet feladatokhoz általánosabb módszer a jobb.

Tehát keressük ezt:
`240029^(8001)≡x\ ("mod " 24)`
Ránézésre látszik, hogy
`240029≡29≡5\ ("mod " 24)`
tehát ezt keressük:
`240029^(8001)≡5^(8001)≡x\ ("mod " 24)`

5 és 24 relatív prímek, ezért használhatjuk kiindulásként az Euler tételt:
`5^(φ(24))≡1\ ("mod "24)`

`φ(24)=φ(2^3·3)=φ(2^3)·φ(3)=(2^3-2^2)·(3-1)=8`
(nem részleteztem, milyen szabályok vannak a fí kiszámolásánál, remélem, ismered)

tehát ebből tudunk kiindulni:
`5^8≡1\ ("mod "24)`

`8001=8·1000+1`, ezért
`5^(8·1000+1)=(5^8)^(1000)·5^1≡1·5^1\ ("mod "24)`

Tehát 5 a maradék.