1)
Egy kongruenciarendszer megoldhatóságát így lehet megnézni:
- Mindkét kongruenciát x ≡valami alakra kell hozni (magyarul meg kell oldani). Most ez már olyan, kimarad ez a lépés.
- Aztán meg kell nézni a modulusoknak az lnko-ját. Most pl. 20 és 2 legnagyobb közös osztója 2.
- Kell venni a jobb oldalak különbségét: 7-2 =5
- Ha ez osztható az lnko-val, akkor megoldható, egyébként nem.

A 2 nem osztója az 5-nek.
A többi:
lnko(20, 10)=10 ez se jó (az 5 nem osztható 10-zel)
lnko(20, 15)=5 ez jó
lnko(20, 30)=10 ez megint nem jó

2)
A kapcsos zárójel meg ∈ meg ∃ meg hasonló jelölésekkel leírt feladatot úgy kell kiolvasni, hogy "Azon egész x-ek halmaza, amikre létezik y egész szám, hogy 5x+9y=4, és x 31 és 41 közé esik."

Nem tudom, miket tanultatok az ax+by=c alakú lineáris diofantoszi egyenletekről, de valószínű tanultátok, hogy:
- akkor oldható meg, ha d=lnko(a,b) osztója c-nek. Most lnko(5,9)=1, minden rendben.
- ha x,y egy megoldás, akkor x+v,y-u is megoldás, ahol u=a/d és v=b/d (d=lnko(a,b)) (keresztbe megy, hogy x-hez y szorzójának (b-nek) a hányadosát (b/d) adjuk hozzá és fordítva)

Most d=1, u=5, v=9, vagyis ha valahogy találsz egy x,y megoldást, akkor tehát ezek is megoldások:
x+9,y-5
x+18,y-10
x+27,y-15
stb.

Most csak az x-ek az érdekesek, mert azok halmazáról szól a kérdés, tehát valamitől kezdve minden 9-edik szám megoldás lesz. 31 és 41 között 11 szám van, ebbe a tartományba 1 vagy 2 szám esik, amik között 9 a különbség. Szóval tudnunk kell, milyen x-ről indulunk el, hogy kiderüljön, hogy 1 vagy 2 a magoldás.

Ránézésre is könnyű megoldást találni: 5·(-1)+9·1=4
Tehát -1,1 egy megoldás. A többi pedig:
8,-4
17,-9
Az y-okat nem is érdemes tovább írni, mert csak az x-ek az érdekesek:
26,35,44,stb.

Tehát 1 a megoldás.

3)
S={6k : k∈ℤ} a következőt jelenti:
S egy halmaz, ami 6k alakú elemekből áll, amikre teljesül az, hogy k egész szám.
Magyarul: S a 6 többszöröseinek a halmaza (olyan elemei vannak, hogy 0, 6, -6, 12, -12, 18, -18, stb.)

A (ℤ;+) csoport azt jelenti, hogy valamilyen matematikai cucc tagjai a ℤ halmaz és a + művelet. Ez attól csoport, mert zárt a műveletre (ami most az összeadás) (magyarul a halmaz bármely két elemét összeadva olyan számot kapunk, ami eleme a halmaznak). Van egységeleme, ez most a 0, amit ha hozzáadunk bármihez, önmagát kapjuk. És a halmaz minden elemének van inverze is, pl. a 3 inverze a -3, mert pl. a 2+3=5 műveletet vissza tudjuk csinálni úgy, hogy 5+(-3)=2.

Ennek tényleg részcsoportja az (S;+), hisz S részhalmaza ℤ-nek, S elemein (a 6 többszörösein) az összeadás művelet zárt (pl. 12+18 is eleme S-nek), van egységelem is S-ben (a 0), és az inverzek (negatív számok) is benne vannak.

A mellékosztály meg azt jelenti, hogy ha a csoportnak (most (ℤ;+)) vesszük egy elemét (2) és azzal a részcsoport minden elemével elvégezzük a műveletet, kapunk egy halmazt, ez a mellékosztály.
Tehát pl. S néhány eleme ez: -6, 0, 6, 12. Ezekkel:
2+(-6)=-4
2+0=2
2+6=8
2+12=14
a többi elemmel is el kellene végezni, de végtelen sok van belőlük, szóval nem írom fel mindet

Amiket kaptunk számokat, azok nem elemei az S halmaznak, de elemei a ℤ-nek.

Szóval amiket kérdez a feladat, azok a 2+6k alakú számok (csak bonyolultabban kérdezte). Abból pedig a -4, a 2 meg a 14 van a téglalapban.