9)
Ha valaminek az élettartamáról van szó, az tipikusan exponenciális eloszlású.
(Főleg, ha megadják, hogy örökifjú tulajdonsága is van, mert egyedül az exp. eloszlás örökifjú a folytonos eloszlások közül.)

Az exp. eloszlás eloszlásfüggvénye:
`F(ξ)=1-e^(-λx)`
Várható értéke:
`E(ξ)=1/λ`

Mivel az izzó élettartamának a várható értéke 3, ezért ez az izzó egy `λ=1/3` paraméterű exponenciális eloszlást követ.

Az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy ha most megveszed az izzót, az élettartama várhatóan 3 év. Viszont ha 2 év alatt nem romlik el, akkor is 3 év még az élettartamának a várható értéke. Előre nem igaz, hogy 5 évet tuti kibír, nyugodtan elromolhat már másnap is... de az élettartam várható értéke minden megélt pillanatban 3 év.

Vagyis ha már legalább 2 éves, az olyan a várható élettartam szempontjából, mintha most vetted volna.
(A "legalább 2 éves" azt jelenti, hogy pontosan tudjuk, hogy volt már 2 éves, de nem igazán tudjuk, hogy esetleg több-e; ez nem is érdekes. Az örökifjú tulajdonság erre vonatkozik, nem kell az, hogy pontosan tudjuk, hogy hány éves.)

A keresett valószínűség tehát ugyanaz, mint hogy milyen valószínűséggel romlik el vásárlás után 4-2=2 és 5-2=3 év között. Formálisan ezt így lehet képlettel írni:
`P(4 ≤ ξ ≤ 5 | ξ ≥ 2) = P(2 ≤ ξ ≤ 3)=P(ξ ≥ 2)-P(ξ≥3)`
(az egyenlőségjellel mindegy, mit kezdünk, mert egy folytonos pontnak a valószínűsége nulla.)

`P(ξ ≤ x)=F(x)`
`P(ξ ≥ x)=1-F(x)=e^(-λx)`

... már csak be kell helyettesíteni.

8.
A lámpák darabszáma valami diszkrét eloszlás lesz.

Az izzó élettartama 1/2 paraméterű exponenciális eloszlás (nevezzük ζ-nak). Annak a valószínűsége, hogy egy izzó működik 3 év múlva:
`p=P(ζ≥3)=1-P(ζ≤3)=e^(-λx)=e^(-3/2)`

A 3 izzó közül hogy k darab él, az pedig az így kiszámolt p paraméterű binomiális eloszlás lesz.
`P(ξ=k)=((3),(k))p^k·(1-p)^(3-k)` k=0,1,2,3 esetén

Ennek az eloszlásfüggvényekor már fontos, hogy kirakjuk az egyenlőségjelet, vagy nem, mert ξ diszkrét. Angolok kisebbegyenlőnek definiálják, magyarul kisebb szokott lenni csak, nézd meg, ti hogyan definiáltátok, Én mondjuk kisebbel csinálom:
`F_ξ(x)=P(ξ < x)=sum_(k=0)^(x-1) ((3),(k))p^k·(1-p)^(3-k)`
Ez csak x=1,2,3,4 esetén adja az eredményt, köztük meg a lépcsők vannak.

A várható értéke egyszerűbb, de te is biztos tudod (np):
`E(ξ)=3·p`