Feladat

3.5.
Az ötödfokú kifejezést alakítgassuk kicsit:
`K=x^5+y^5=(x+y)(x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4)`
`=x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4`
Tudjuk, hogy `(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4`, ezért
`K=(x+y)^4-5x^3y-5x^2y^2-5xy^3`
`=1-5xy(x^2+xy+y^2)`
`=1-5xy((x+y)^2-xy)=1-5xy(1-xy)`

Legyen `z=xy`:
`K=1-5z(1-z)`
`31=1-5z+5z^2`
`5z^2-5z-30=0`
Ennek a megoldásai a megoldóképlettel:
`z_1=-2, z_2=3`

Vagyis itt tartunk:
a)
`x+y=1`
`xy=-2`

b)
`x+y=1`
`xy=3`

Fejezd be.

3.6.
Vond ki az elsőből a másodikat:
`x^2-y^2=y-x`
`(x-y)(x+y)=-(x-y)`
Ennek egyik megoldása az, hogy `x-y=0`. Azt is meg kell majd nézni. Ha az nem teljesül, akkor lehet vele osztani:
`x+y=-1`
Vagyis
`z^2=-1+2=1`
Tehát `z=1` vagy `z=-1`

a) `z=1`
`x^2=y+3=(-1-x)+3`
Fejezd be...

b) `z=-1`
`x^2=y+1=(-1-x)+1`
Fejezd be...

És amit kihagytunk:
c) `x-y=0`
Az eredeti egyenletrendszerből ez marad:
`x^2=x+z+2`
`z^2=2x+2`
Ezek különbsége:
`x^2-z^2=z-x`
stb...