`y''-y'-2y=1+e^(-x)`

Ugye a homogén egyenlet általános megoldása ez lett:
`y_h=c_1·e^(-x)+c_2·e^(2x)`

A partikuláris megoldás pedig: a jobb oldalon van egy nulladfokú polinom (1) valamint egy exponenciális függvény (`e^(-x)`). Ezért a partikuláris megoldást is egy nulladfokú polinom (`a`) valamint egy ugyanolyan exponenciális függvény (`b·e^(-x)`) összegeként érdemes keresni. Viszont ugyanilyen együtthatójú exponenciális függvény a homogén egyenletnek is a megoldása, ezért módosítani kell a függvényt: szorozni kell x-szel (`b·x·e^(-x)`)

Vagyis a próbafüggvény ez:
`y=a+b·x·e^(-x)`

`y'=b·(e^(-x)-x·e^(-x))=b(1-x)e^(-x)`
`y''=b·(-e^(-x)-(1-x)e^(-x))=b(x-2)e^(-x)`

Ezeket írjuk be az diffegyenletbe:
`b(x-2)e^(-x) - b(1-x)e^(-x) -2(a+b·x·e^(-x))=1+e^(-x)`
`-2a + b((x-2)-(1-x)-2x)e^(-x)=1+e^(-x)`
`-2a -3b·e^(-x)=1+e^(-x)`

Összehasonlítva a két oldalt az jön ki, hogy
`-2a=1\ \ \ \ \ → \ \ a=-1/2`
`-3b=1\ \ \ \ \ → \ \ b=-1/3`

Tehát az egyik partikuláris megoldás ez:
`y_p=-1/2-1/3x·e^(-x)`

Az általános megoldás pedig:
`y=y_h+y_p=c_1·e^(-x)+c_2·e^(2x)-1/2-1/3x·e^(-x)`