1)
`(x-2)/(x^2-2)=(x-2)/((x-sqrt2)(x+sqrt2))`
Ez a függvény teljesen normálisan viselkedik az `x=2` helyen, hisz a nevezője nem 0 ott, vagyis nincs szakadása. A függvény értelmezett x=2-nél, értéke 0 (hisz a számláló 0), a határérték is 0 (simán behelyettesítéssel jön ki).

2)
`(x-2)/(x^2-4)=(x-2)/((x-2)(x+2))`
Ez már izgalmasabb, mert x=2 esetén a nevező értéke 0. Vagyis a függvény nincs értelmezve x=2-nél, ezért folytonos sem lehet ott. Vagyis a függvénynek szakadása van x=2-nél, de a szakadás megszüntethető, mert a bal és jobb oldali határértékek azonosak, mindjárt mutatom, miért.

Szóval ha x=2, akkor nincs értelmezve a függvény: ha felrajzolnánk a függvény képét, ott egy üres karikát kellene hagyni. Ezt hívjuk úgy, hogy a függvénynek szakadása van x=2-nél.
Na most ha x≠2, akkor x-2 nem nulla, ezért szabad vele egyszerűsíteni. Ez lesz a függvény x≠2 esetén:
`1/(x+2)`
Ennek kell megnézni a bal és jobb oldali határértékét. Ez a keresett területen (x=2 környékén) egy teljesen normálisan viselkedő függvény (csak x=-2 esetén lenne vele baj, de az messze van). Ha x kisebb 2-nél, vagy nagyobb 2-nél, de ott van a 2 közelében, akkor is a behelyettesítési értékével lehet számolni. Vagyis a határértéke ugyanaz, mint a behelyettesítési értéke: `1/(2+2)=1/4`.
A függvény szakadása megszüntethető x=2-nél úgy, hogy azt mondjuk, hogy tekintsük azt a függvényt, ami x≠2 esetén `(x-2)/(x^2-4)`, ha pedig x=2, akkor legyen az értéke `1/4`.