A szélsőérték keresésre mondjuk az utolsó:
Gondolom nem tanultátok még a szimplex algoritmust (majd ez után jön), hanem grafikusan kell megoldani ezeket a feladatokat.
Az `x=5x+7y` függvényt kell vizsgálni. De először nézzük a feltételeket:
Az alsó kettővel érdemes kezdeni:
`x ≥ 0 \ \ \ \ ` ez az y tengelytől jobbra lévő félsik
`y ≥ 0 \ \ \ \ ` ez az x tengelyfelett lévő félsik. Vagyis eddig a jobb felső síknegyed a megengedett.
Aztán a többi:
`x+y ≥ 1 \ \ \ ` ez az `y=-x+1` egyenes, és a felette lévő rész. Úgy a legegyszerűbb ábrázolni, hogy bármely görbe az x tengelyt y=0-nál metszi: helyettesíts be y=0-t, kijön, hogy az x=1 pontban metszi az x tengelyt. Hasonlóan az y tengelyt x=0-nál metszi, ami y=1-et jelent. Ezeket összekötve kapod az egyenest. Aztán kicsit gondolkodni kell, hogy az alatta vagy felette lévő terület a megengedett: érdemes megnézni mondjuk egy alatta lévő pontot, amiből a legegyszerűbb a (0,0) pont. A függvényérték ott 0, ami nem igaz, hogy nagyobb lenne 1-nél, tehát ez a pont nem megengedett. Ami azt jelenti, hogy az egyenes felett lévő pontok a megengedettek.
`x+2y≤4 \ \ \ \ ` itt a tengelymetszetek y=2 és x=4, kösd össze az egyenest. Aztán x=y=0 esetén a bal oldal 0, ami kisebb 4-nél, tehát ez jó pont, ezért az egyenes alatt van a többi megengedett pont is.
`2x+y≤4 \ \ \ \ ` ez is hasonlóan megy.
Ha ezeket megrajzoltad, kijön az a terület, ami mindegyik egyenesnek a megfelelő oldalán van, vagyis mindegyik által megengedett.
Ilyen ábra kellett kijöjjön neked a papírodon:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%E2%89%A51,x%2B2y%E2%89%A44,2x%2By%E2%89%A44,x%E2%89%A50,y%E2%89%A50
Az extrém pontjai: (1,0), (2,0), (0,1), (0,2) és hmm, nem is tudom, talán (1.5,1.5) (szerintem tizedesponttal kell beírni, nem tizedesvesszővel. Vagy lehet törtet is írni?). Persze a pontos érték kell, ami az adott két egyenes metszéspontja:
`x+2y=4 `
`2x+y=4`
------------
az első duplájából vonjuk ki a másodikat:
`3y=4`
`y=1.33333`
Hát nem találtam el leolvasással...
Az x is ugyanennyi.
És kell még a függvény viselkedése. Nézzük meg, milyen egyenes jön ki, ha `z=0`:
`5x+7y=0`
Ez a tengelyeket a (0,0) pontban metszi, abból nem jön ki az egyenes... Nézzük meg, hogy `z=35` esetén milyen egyenes lesz (azért pont 7·5=35, mert ott egész számok fognak kijönni)
`5x+7y=35`
A tengelyeket ez x=7 és y=5-ben metszi. Rajzold fel az egyenest.
Más `z` értékekhez ezzel párhuzamos egyenes fog tartozni, mert a függvény meredeksége mindig `(-5)/7`, bármi is a `z`. Minél magasabban megy a párhuzamos egyenes, annál nagyobb a `z`. Ezekből a párhuzamos egyenesekből kellene találni olyanokat, amikre a feladat kérdez.
Maximum: A rajzodból látszódni kell, hogy ez az lesz, amikor az egyenes átmegy a `(4/3,4/3)` extremális ponton, hisz ennél fentebbi egyenesek már kiesnek a megengedett területből. Akkor pedig a `z` értéke pont az, amit `x=4/3` és `y=4/3` behelyettesítéssel kapsz:
`z=5·4/3+7·4/3=16`
Ez a maximum.
Minimum: Ez meg ott lesz, ahol legalul tud menni az egyenes, ami a (0,1) extremális pont (persze ha más lenne az egyenes meredeksége, lehet, hogy az (1,0) lenne ez az alsó extremális pont). Azt is helyettesítsd be:
`z=5·1+7·0=5`
(Ezt jól írtad be a képen, a többi rossz volt)