19 óráig, vagy 19-edikéig??

A lineáris programizási feladatokra használhatod puskának a wolfram alphat, pl.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+4x1%2B7x2+subject+to+2x1%2Bx2%3C%3D4+and+x1%2B2x2%3C%3D6+and+x1%3E%3D0+and+x2%3E%3D0
Ha csak ábrázolni kell, akkor is jó a wolfram, egyszerűbb a kifejezés is:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x1%2Bx2%3C%3D4,x1%2B2x2%3C%3D6,x1%3E%3D0,x2%3E%3D0

A lineáris közelítéseket is kipuskázhatod:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=tangent+plane+of+x%C2%B7sqrt(y)+at+x%3D-9+and+y%3D1

Viszont a vizsgára úgyis meg kell tanulni, hogy hogyan jönnek ki ezek...

Mondjuk az első:

`f(x,y)=x·sqrt y`
A függvényre lineáris közelítésként egy síkot illesztünk. A sík olyan magasan lesz, mint ami a függvény értéke az adott pontban, ahol a közelítést akarjuk:
`x_0=-9`
`y_0=1`
`z_0=f(x_0,y_0)=-9·sqrt 1 = -9`

Aztán ki kell találni az x illetve y tengely menti meredekségeket az adott pontban. Ehhez deriválni kell parciálisan x illetve y szerint:
`f_x=(∂f)/(∂x)=sqrt y \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ m_x=f_x(-9,1)=sqrt(1)=1`
`f_y=(∂f)/(∂y)=x/(2sqrt y) \ \ \ \ → \ \ \ \ m_y=f_y(-9,1)=(-9)/(2sqrt 1)=-9/2`

Az illeszkedő sík egyenlete pedig:
`(z-z_0)=m_x·(x-x_0)+m_y·(y-y_0)`
`z+9=(x+9)-9/2·(y-1)`
`z+9=(x+9)-9/2·(y-1)`
`z=x-(9y)/2+9/2`

OK?
A többi lineáris közelítést is próbáld meg levezetni is.

A szélsőérték keresésre mondjuk az utolsó:

Gondolom nem tanultátok még a szimplex algoritmust (majd ez után jön), hanem grafikusan kell megoldani ezeket a feladatokat.

Az `x=5x+7y` függvényt kell vizsgálni. De először nézzük a feltételeket:

Az alsó kettővel érdemes kezdeni:
`x ≥ 0 \ \ \ \ ` ez az y tengelytől jobbra lévő félsik
`y ≥ 0 \ \ \ \ ` ez az x tengelyfelett lévő félsik. Vagyis eddig a jobb felső síknegyed a megengedett.
Aztán a többi:
`x+y ≥ 1 \ \ \ ` ez az `y=-x+1` egyenes, és a felette lévő rész. Úgy a legegyszerűbb ábrázolni, hogy bármely görbe az x tengelyt y=0-nál metszi: helyettesíts be y=0-t, kijön, hogy az x=1 pontban metszi az x tengelyt. Hasonlóan az y tengelyt x=0-nál metszi, ami y=1-et jelent. Ezeket összekötve kapod az egyenest. Aztán kicsit gondolkodni kell, hogy az alatta vagy felette lévő terület a megengedett: érdemes megnézni mondjuk egy alatta lévő pontot, amiből a legegyszerűbb a (0,0) pont. A függvényérték ott 0, ami nem igaz, hogy nagyobb lenne 1-nél, tehát ez a pont nem megengedett. Ami azt jelenti, hogy az egyenes felett lévő pontok a megengedettek.

`x+2y≤4 \ \ \ \ ` itt a tengelymetszetek y=2 és x=4, kösd össze az egyenest. Aztán x=y=0 esetén a bal oldal 0, ami kisebb 4-nél, tehát ez jó pont, ezért az egyenes alatt van a többi megengedett pont is.

`2x+y≤4 \ \ \ \ ` ez is hasonlóan megy.

Ha ezeket megrajzoltad, kijön az a terület, ami mindegyik egyenesnek a megfelelő oldalán van, vagyis mindegyik által megengedett.

Ilyen ábra kellett kijöjjön neked a papírodon:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%E2%89%A51,x%2B2y%E2%89%A44,2x%2By%E2%89%A44,x%E2%89%A50,y%E2%89%A50
Az extrém pontjai: (1,0), (2,0), (0,1), (0,2) és hmm, nem is tudom, talán (1.5,1.5) (szerintem tizedesponttal kell beírni, nem tizedesvesszővel. Vagy lehet törtet is írni?). Persze a pontos érték kell, ami az adott két egyenes metszéspontja:

`x+2y=4 `
`2x+y=4`
------------
az első duplájából vonjuk ki a másodikat:
`3y=4`
`y=1.33333`
Hát nem találtam el leolvasással...
Az x is ugyanennyi.

És kell még a függvény viselkedése. Nézzük meg, milyen egyenes jön ki, ha `z=0`:
`5x+7y=0`
Ez a tengelyeket a (0,0) pontban metszi, abból nem jön ki az egyenes... Nézzük meg, hogy `z=35` esetén milyen egyenes lesz (azért pont 7·5=35, mert ott egész számok fognak kijönni)
`5x+7y=35`
A tengelyeket ez x=7 és y=5-ben metszi. Rajzold fel az egyenest.
Más `z` értékekhez ezzel párhuzamos egyenes fog tartozni, mert a függvény meredeksége mindig `(-5)/7`, bármi is a `z`. Minél magasabban megy a párhuzamos egyenes, annál nagyobb a `z`. Ezekből a párhuzamos egyenesekből kellene találni olyanokat, amikre a feladat kérdez.

Maximum: A rajzodból látszódni kell, hogy ez az lesz, amikor az egyenes átmegy a `(4/3,4/3)` extremális ponton, hisz ennél fentebbi egyenesek már kiesnek a megengedett területből. Akkor pedig a `z` értéke pont az, amit `x=4/3` és `y=4/3` behelyettesítéssel kapsz:
`z=5·4/3+7·4/3=16`
Ez a maximum.

Minimum: Ez meg ott lesz, ahol legalul tud menni az egyenes, ami a (0,1) extremális pont (persze ha más lenne az egyenes meredeksége, lehet, hogy az (1,0) lenne ez az alsó extremális pont). Azt is helyettesítsd be:
`z=5·1+7·0=5`
(Ezt jól írtad be a képen, a többi rossz volt)