Itt megtalálod az elméletet:
https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_thomas_kalkulus_3/ch07s05.html

Az általános képlet az, hogy
- meg kell állapítani, milyen irányú vetület esetén lesz az, hogy csak egyetlen egy felületi pont vetül minden egyes vetületi pontba. Vagyis milyen síkra merőleges vektorok azok, amik mind csak egyetlen egy pontban döfik át a felületet . Ez lesz a `bb p` egységvektor. Most ezek az xy síkra merőlegesek, vagyis `bb p = bb k`. (`bb i, bb j, bb k` az `x,y,z` tengelyek egységvektorai.)
- aztán kell venni a felület gradiensének abszolút értékét. Ez persze függ x,y,z-től.
- azt osztani kell a gradiens `bb p`-vel vett skalárszorzatának az abszolút értékével
- és ezt kell integrálni a vetület felett.
(A fenti linken ez a cikk elején van, 16.28 képlet)

Ha a felület képlete `z=f(x,y)` alakú (vagyis a `z` első hatványon szerepel benne), akkor egyszerűbb lesz a képlet. (persze z helyett bármelyik más tengely is állhat, akkor is ugyanígy leegyszerűsödik a képlet.) Ekkor ugyanis `bb p = bb k`, így a gradiensnek ezzel vett skalárszorzata egyszerűen 1 lesz. Az integrál tehát ez lesz: (a fenti linken ez teljesen a végén van, a 16.36 képlet)

`int int_T sqrt(f_x^2+f_y^2+1) \ dx dy`
ahol mondjuk `f_x` az `f` függvény `x` szerinti parciális deriváltja, `T` pedig a vetület.

Most ezeket így kell használni:

`z=5-x^2-y^2`
Ez az x,y sík "felett" van, mármint úgy értem, hogy az x,y-ra merőlegesen vetítve minden vetített pont felett csak egy pontja van a síknak. Tehát a `bb k` vektorral érdemes vetíteni. De ez törvényszerű a miatt, mert a `z` első hatványon van.
Az origó középpontú 2 sugarú henger: nincs megadva, milyen irányú a henger... Akkor tudunk egyszerűen számolni, ha a z tengely a közepe. Bizonyára így akart lenni a feladat. Vagy így is volt megadva, csak rövidítve írtad le....

Szóval az ilyen henger `x^2+y^2=2^2` egyenletű, ami a fenti görbét ezekben a pontokban metszi: `z=5-2`. Magyarul az x,y síkkal párhuzamos, z=3 magas sík. A síknak és a görbének a metszete persze egy kör lesz.

A kívánt felület vetülete az xy síkon a 2 sugarú kör, e terület felett kell integrálni, ez a körlap a `T: x^2+y^2 ≤ 2^2`.

Ezek még csak a kezdeti vizsgálódások voltak, most jön az integrál felírása.
A felület képlete `z=f(x,y)`, ahol `f(x,y)=5-x^2-y^2`.

Ennek a parciális deriváltjai ezek:
`f_x = -2x`
`f_y=-2y`

Ezeket a fenti integrálba helyettesítve:
`int int_(x^2+y^2 ≤ 4) sqrt(4x^2+4y^2+1) \ dx\ dy`

Érdemes áttérni polárkoordinátákra:
`=int_0^(2π) int_0^2 sqrt(4r^2+1) \ r\ dr\ dθ`
Mázli, hogy a gyök szorozva van `r`-rel is, így a belső integrál sima hatványozás-integrál, a primitív függvénye `1/(12)(4x^2+1)^(3/2)`
`=int_0^(2π) [1/(12)(4x^2+1)^(3/2)]_0^2 \ dθ`
A külső integrál meg, mivel nincs `θ` a függvényben, csupán `2π`-vel való szorzás lesz.
`=2π·(sqrt(17^3)-1)/(12)`