11) a=21 cm, c=15 cm, m=4 cm
a) Pithagorasz-tétel! (Ha felrajzolsz egy szimmetrikus trapézt és behúzod mi rövidebbik oldal végpontjaiba a magasságot, akkor a hosszabb oldalon keletkező kicsi rész nem más, mint (a-c)/2 )
m²+((a-c)/2)²=b²
4²+((21-15)/2)²=b²
16+9=b²
25=b²
b=5 (cm)
b) T=((a+c)/2)*m
T=((21+15)/2)*4 => T=18*4 => T=72 (cm²)
c) K=a+b+c+d (szimmetria miatt b=d)
K=21+5+15+5 => K=46 (cm)
d) Szimmetrikus trapéznál azt kell tudni, hogy az alapon fekvő belső szögek egyenlőek. A szárakon fekvő szögek 180°-ra egészítik ki egymást. α=53°, β=53°, γ=127°, δ=127°.
A külső szögei pedig rendre α'=127°, β'=127°, γ'=53°, δ'=53°.
12)
I) xy+y²=55
II) 2x+y=17
y=17-2x
Ezt behelyettesítem I)-be!
x(17-2x)+(17-2x)²=55
17x-2x²+289-68x+4x²=55
2x²-51x+234=0
x₁₂=(51±
√ 51²-4*2*234 )/4
x₁₂=(51±
√ 2601-1872 )/4
x₁=(51+27)/4=19,5 => y₁=-22
x₂=(51-27)/4=6 => y₂=5
Az ellenőrzést rád bíznám!
13) n oldalú sokszög 1 csúcsából n-3 átló húzható! Mivel n csúcsa is van így összesen n*(n-3) átló húzható. DE így minden átlót kétszer számoltuk, így egy n oldalú sokszögben n*(n-3)/2 különböző átlója van.
Az egyenlet:
n*(n-3)/2-12=n
n²-3n-24=2n
n²-5n-24=0
n₁₂=(5±
√ 25-4*1*(-24) )/2
n₁₂=(5±
√ 25+96 )/2
n₁=(5+11)/2 => n₁=8
n₂=(5-11)/2 => n₂=-3 hamis gyök, mivel síkidomról beszélünk, aminek csak pozitív oldala lehet!
14)Bármit csinálunk előbb ki kell kötni, hogy a gyökjel alatt csak pozitív szám állhat! x∈R x≥4!
-
√ x-4 =-x/4+1/4
√ x-4 =(x-1)/4 négyzetre emelem
x-4=(x-1)²/16
16x-64=x²-2x+1
x²-18x+65=0
x₁₂=(18±
√ 18²-4*65 )/2
x₁₂=(18±
√ 324-260 )/2
x₁=(18+8)/2=13
x₂=(18-8)/2=5
Mindkét eredmény kielégíti az eredeti egyenletet.
Ellenőrzést Rád hagynám!
15)
3x/8-(5/3+(1-x)/6)=(x-5)/2+7/8 Közös nevezőre hozom
9x/24-(40/24+(4-4x)/24)=(12x-60)/24+21/24
9x/24-40/24-(4-4x)/24=(12x-60)/24+21/24 Már szorozhatok 24-gyel!
9x-40-(4-4x)=12x-60+21
9x-40-4+4x=12x-39
13x-44=12x-39
x=5