Algebra. Mátrixok

A feladat szövege erősen hiányos, igazán odafigyelhettél volna, amikor kiírod, hogy értelmes legyen...

`A_1`:

A mátrix sajátértékei -2, -1 és 1. Ugye ki tudod számolni őket?
A hozzájuk tartozó sajátvektorok (1,0,1), (1,0,2) illetve (1,1,2). Ugye ezeket is ki tudod számolni?
Mivel a 3x3-as mátrixnak megvan és különböző mind a 3 sajátértéke, ezért 3 darab 1x1-es Jordan-blokkja van (nagyobb nem fér el), tehát a Jordan mátrixa egy diagonálmátrix a sajátértékekből, a bázis pedig a sajátvektorok.

Nem tiszta a szövegből, hogy fel kell-e írni a bázistranszformációt is:
`A_1 = S·J·S^(-1)`
ahol S a sajátvektorokból összerakott mátrix:
`S=((1,1,1),(0,0,1),(1,2,2))`
J a Jordan-mátrix a sajátértékekből:
`J=((-2,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))`
Az `S^(-1)` inverz mátrixot nem számolom ki most, számold ki mondjuk Gauss eliminációval.

`A_2`:
Ennek a mátrixnak a karakterisztikus polinomja `-(λ + 2)^2(λ- 1)` (számold ki), vagyis sajátértékei -2 és 1, ahol a -2 kétszeres sajátérték. Ez nem sima diagonálmátrix lesz...
Az 1-hez tartozó sajátvektor (1,0,1) (számold ki), a -2-höz tartozót részletesebben leírom: ugye ezt kell megoldani:
`(A_2-λE)x=0`
ahol `λ=-2`:
`((3+2,-1,-2),(-1,-3+2,1),(4,-2,-3+2))·x=0`
Gauss eliminációval ezt a mátrixot kell átalakítani:
`((5,-1,-2,|,0),(-1,-1,1,|,0),(4,-2,-1,|,0))`
A második sor 5-szörösét illetve 4-szeresét adjuk az első illetve harmadik sorhoz, valamint a második sort negáljuk:
`((0,-6,3,|,0),(1,1,-1,|,0),(0,-6,3,|,0))`
Az első sort vonjuk ki a harmadikból, aztán osszuk is 3-mal:
`((0,-2,1,|,0),(1,1,-1,|,0),(0,0,0,|,0))`
Az első sort adjuk a másodikhoz:
`((0,-2,1,|,0),(1,-1,0,|,0),(0,0,0,|,0))`
Tovább nem nagyon lehet menni. Három érdekesség jött ki belőle:
- Kár is volt a jobb szélső 0-ás oszlopot írni, biztos, hogy végig 0 marad.
- Egy csupa 0 sor lett, vagyis a mátrix rangja 2. E miatt az infó miatt írtam le a teljes eliminációt. Ugyanis mivel a mátrix mérete 3, a rangja pedig 2, ezért 3-2=1 darab Jordan-blokk tartozik a -2-es sajátértékhez.
Ezért a Jordan mátrixot már fel is tudjuk írni: lesz benne egy 2x2-es blokk a -2-vel (vagyis `((-2,1),(0,-2))`) és egy 1x1-es blokk az 1-gyel (vagyis maga az 1):
`J=((-2,1,0),(0,-2,0),(0,0,1))`

- A sajátvektor pedig `(x_1,x_2,x_3)`:
`-2x_2+x_3=0`
`x_1-x_2=0`
vagyis `x_1=x_2` és `x_3=2x_2`. Tehát a sajátvektor ilyen:
`((s),(s),(2s))`, aminek a legegyszerűbb alakja `((1),(1),(2))`

Két sajátvektor van, de a bázishoz 3 kell. A harmadik egy általánosított sajátvektor lesz (nem igazi sajátvektor), ami így jön ki:
`(A_2-λE)^2x=0`
ahol persze `λ=-2`. Ki kell számolni tehát ezt a négyzetet:
`((5,-1,-2),(-1,-1,1),(4,-2,-1))·((5,-1,-2),(-1,-1,1),(4,-2,-1))=((18,0,-9),(0,0,0),(18,0,-9))`
és ezt kell Gauss eliminálni. Fel se írom: a harmadik sor csupa nulla lesz, az elsőt oszthatjuk 9-cel, és a vektor elemeire ez jön ki: `2x_1=x_3` és `x_2` tetszőleges. Legyen mondjuk ez:
`((1),(0),(2))`
Ez tehát a másik bázisvektor, ami a -2-es sajátértékhez tartozik. A Jordan mátrix átlójában az első két elem a -2 (írhattuk volna máshogy is... mindegy), tehát a transzformációs mátrix első két oszlopvektora lesz az ahhoz tartozó két vektor, a harmadik meg az 1-hez tartozó sajátvektor:
`S=((1,1,1),(1,0,0),(2,2,1))`
Az inverzét nem számolom ki, csináld meg...

Az `A_3` is hasonlóan megy:
Egyetlen sajátértéke van, λ=1 (számold ki).
A hozzá tartozó sajátvektor (`2x_1=x_3` és `2x_2=x_3`) mondjuk az `v_1=((1),(1),(2))`. Ennek kiszámítása közben kiderült, hogy az `A_3-1·E` mátrix rangja 2, vagyis 3-2=1 Jordan-blokk lesz, ami azt jelenti, hogy a Jordán blokk lesz a teljes 3x3-as Jordan mátrix, az átlóban 1-ekkel:
`J=((1,1,0),(0,1,1),(0,0,1))`
A bázishoz kell még két másik vektor is.
Most ne a négyzetre emeléses trükkel csináljuk, hanem ezzel a kettővel:
`(A_3-λ·E)·v_2=v_1`
aztán majd
`(A_3-λ·E)·v_3=v_2`

vagyis `v_2` így jön ki:
`((3,-1,-1),(1,-1,0),(6,-2,-2))·((v_(21)),(v_(22)),(v_(23)))=((1),(1),(2))`
Ennek Gauss eliminációjának a végeredménye (nem csinálom végig) ez:
`2v_(21)=v_(23)` és `2v_(22)+2=v_(23)`
amiből mondjuk `v_(23)=0` választással ez jön ki:
`v_2=((0),(-1),(0))`

`v_3` pedig:
`((3,-1,-1),(1,-1,0),(6,-2,-2))·((v_(31)),(v_(32)),(v_(33)))=((0),(-1),(0))`
amiből a végén megint csak `v_(33)=0` választással a `v_3=((1/2),(3/2),(0))` jön ki.

Tehát a transzformációs mátrix ez:
`S=((1,0,1/2),(1,-1,3/2),(2,0,0))`

Egyébként az előző feladatnál is lehet, hogy a négyzetre emelés helyett egyszerűbb lett volna ilyen módszerrel csinálni...

Egy nehezebb példa teljesen kidolgozva:

Ennek a mátrixnak kellene megcsinálni a Jordan-mátrixát:
`A=((0,4,2),(-3,8,3),(4,-8,-2))`

Ennek a sajátértékei: számoljuk ki `A-λ·E` determinánsát:
`|(0-λ,4,2),(-3,8-λ,3),(4,-8,-2-λ)|=-λ^3+6λ^2-12λ+8`
Mivel `8=2^3`, van esély, hogy 1, -1, 2 vagy -2 gyöke a polinomnak (mert feltételezem, hogy lesz egész szám gyöke). Valóban, λ=2 esetén a polinom értéke 0, magyarul a polinomból ki lehet emelni (λ-2)-t. Ha polinom-osztással elosztjuk (λ-2)-vel, `-λ^2+4λ-4` lesz a hányados, ami `-(λ-2)^2`. Vagyis a teljes polinom `-(λ-2)^3`.

Tehát egyetlen egy sajátérték van: λ=2.

Nézzük a sajátvektort (vagy sajátvektorokat):
`(A-2·E)·v=0`

Az egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval: (mivel a jobb oldal csupa 0, le se írom)
`((0-2,4,2),(-3,8-2,3),(4,-8,-2-2))`
Az első sort osszuk -2-vel: (az a cél, hogy az első sor bal szélső eleme 1 legyen)
`((1,-2,-1),(-3,6,3),(4,-8,-4))`
Már látszik, hogy ez gyorsan meglesz: adjuk hozzá az első 3-szorosát a második sorhoz, valamint vonjuk ki a harmadikból az első 4-szeresét: (az a célunk, hogy az első sor kivételével a többi sorban a bal szélső elem 0 legyen, de most több minden is 0 lesz.)
`((1,-2,-1),(0,0,0),(0,0,0))`

Kész a Gauss, ez a "lépcsős forma", bár itt egyetlen lépcsőfok van csak. Kiderült, hogy a mátrix rangja 1 (egyetlen nem 0 sor maradt), vagyis végtelen sok megoldás van. A 2 csupa 0 sor miatt van 2 szabad változó. Legyen mondjuk a `v=((x),(y),(z))` vektor második és harmadik eleme (y és z) a szabad változó, az értékük legyen s és t. Az első sor azt mondja (a ki nem írt 0 elemmel: az `(A-2·E)·v=0` egyenletrendszert oldjuk meg, szóval 0 van minden egyenlet jobb oldalán), hogy `x-2y-z=0`, vagyis `x-2s-t=0`, tehát `x=2s+t`. A megoldás tehát ilyen alakú:
`v=((2s+t),(s),(t))=s((2),(1),(0))+t((1),(0),(1))`
Ebből 2 lineárisan független vektort kell csinálni (mert 2 szabad változó is van). Végtelen sokféle módon lehetne olyanokat csinálni, próbáljuk úgy, hogy az egyik az lesz, amikor s=0, a másik meg az, amikor t=0:

Ez lesz így a két sajátvektor:
`v_1=((1),(0),(1)) \ \ \ v_2=((2),(1),(0))`
Mint mondtam, lehetne sok más is, de próbálkozzunk ezekkel.

Kell egy harmadik általánosított sajátvektort is találni. Mondjuk keressük azt, ami a Jordán-láncban a `v_1`-et generálja. Annak ez az egyenlete:
`(A-2·E)·v_3=v_1`

Ebben az egyenletrendszerben már nem 0 van a jobb oldalon, úgyhogy a Gauss-hoz oda kell rakni a negyedik oszlopot is:
`((-2,4,2,1),(-3,6,3,0),(4,-8,-4,1))`
Most nem osztom el az első sort -2-vel, mert nem akarok törteket.
Az első sor kétszeresét adjuk hozzá a harmadikhoz (a cél az, hogy ott az első elem 0 legyen):
`((-2,4,2,1),(-3,6,3,0),(0,0,0,3))`
Kár is tovább csinálni, mert már látszik, hogy gond van: a harmadik sor egyenletének a bal oldalán csupa 0 van, az egyenlőségjeltől jobbra meg (ami a negyedik elem) nem 0. Ez lehetetlen.
Vagyis nincs megoldása az egyenletrendszernek!

Próbálkozzunk inkább a `v_2` vektorral:
`(A-2·E)·v_3=v_2`
Nem írom fel, de te csináld meg: most a második sorban lesz ellentmondás.

Ebből se jön ki általánosított sajátvektor, szóval egyikhez sincs Jordan-lánc folytatás.

Ez azt jelenti, hogy a végtelen sok lehetséges sajátvektorból nem olyanokat választottunk, amik részei valamilyen Jordan-láncnak. Kénytelenek vagyunk az általános megoldásból keresni jobbat mondjuk `v_2` helyett. Az általános az volt, hogy
`v_2^'=((2s+t),(s),(t))`

Ennek a Gauss eliminációja:
`((-2,4,2,2s+t),(-3,6,3,s),(4,-8,-4,t))`
Az első sor kétszeresét adjuk a harmadikhoz:
`((-2,4,2,2s+t),(-3,6,3,s),(0,0,0,4s+3t))`
Itt csak akkor nincs ellentmondás, ha `4s=-3t`. A pontos értékek mindegy mik, hisz a végtelen sok lehetséges vektorból csak egyet kell választanunk. Lehet mondjuk az, hogy `s=3` és `t=-4`. Vagyis ezt a sajátvektort választjuk:
`v_2^'=((2),(3),(-4))`
(Ellenőrizni kell, hogy ez tényleg lineárisan független-e a `v_1`-től, hisz most `v_1` és `v_2^'` lesznek a választott sajátvektorok. Ha nem lenne az, akkor `v_1` helyett egy másikat kellene választani. De most ránézésre látszik, hogy függetlenek, mert `v_1`-ben a második elem értéke 0, itt meg nem 0.)
Beírom az értékeket az előző mátrixba is, mert még folytatni kell a Gauss eliminációt:
`((-2,4,2,2),(-3,6,3,3),(0,0,0,0))`
Osszuk az első sort -2-vel:
`((1,-2,-1,-1),(-3,6,3,3),(0,0,0,0))`
Az első sor 3-szorosát adjuk hozzá a másodikhoz:
`((1,-2,-1,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))`
Kész.

Az jött tehát ki `v_3`-ra, hogy
`x_3-2y_3-z_3=-1`
és van két szabad változó. Most nem kell két lineárisan független vektort generálnunk belőle, elég egy is. Legyen mondjuk x_3=0 és y_3=0, vagyis az lesz a megoldás, hogy `z_3=1`, tehát:
`v_3=((0),(0),(1))`

Vagyis az egyik sajátvektorra kijött `v_1`, a másik meg egy lánc: `v_2^'` és `v_3`. Ez tehát a bázis:
`S=((1,2,0),(0,3,0),(1,-4,1))`

A Jordan-mátrixban `v_1`-hez 1x1-es blokk tartozik (hisz ez egyetlen vektor csak), `v_2^'-v_3`-hoz pedig 2x2-es (mert ez a Jordan-lánc 2 hosszú). Az átlóban persze mindenhol 2 van, mert ez a háromszoros sajátérték:
`J=((2,0,0),(0,2,1),(0,0,2))`

A teljes transzformáció ez:
`A=S·J·S^(-1)`
illetve fordítva:
`J=S^(-1)·A·S`

Számoljuk ki az inverz mátrixot is. Az is Gauss-szal megy. Kezdetben a jobb oldalra az egységmátrixot írjuk:
`((1,2,0,1,0,0),(0,3,0,0,1,0),(1,-4,1,0,0,1))`
A harmadik sorból kivonjuk az elsőt:
`((1,2,0,1,0,0),(0,3,0,0,1,0),(0,-6,1,-1,0,1))`
A második dupláját hozzáadom a harmadikhoz: (cél, hogy a harmadik sorban a második elem is 0 legyen)
`((1,2,0,1,0,0),(0,3,0,0,1,0),(0,0,1,-1,2,1))`
Ez már lépcsős elrendezés, de tovább kell menni. A második sort osztom 3-mal: (cél, hogy a balról nem 0 elem 1 legyen)
`((1,2,0,1,0,0),(0,1,0,0,1/3,0),(0,0,1,-1,2,1))`
A második sor dupláját kivonom az elsőből: (cél, hogy a bal oldali 3x3-as mátrix egységmátrix legyen)
`((1,0,0,1,-2/3,0),(0,1,0,0,1/3,0),(0,0,1,-1,2,1))`

Kész vagyunk, ez lett az inverz mátrix:
`S^(-1)=((1,-2/3,0),(0,1/3,0),(-1,2,1))`

Ellenőrzésképpen számold ki mondjuk az `S·J·S^(-1)=(S·J)·S^(-1)` szorzásokat, hogy tényleg az `A` mátrixot adja-e. Azt már nem írom ide, de kipróbáltam, jó.