Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Hogyan oldjam meg?
erzsoo18
kérdése
1466
Aladárnak 150 db kockája van, a kockákból lépcsőt épít úgy, hogy a lépcső legfelső szintjén egy kocka van, majd utána minden következő szinten 2-vel több, mint a felette lévőn. Az egy szinten szomszédos kockák teljes lapjukkal érintkeznek egymással, csakúgy mint a fölül lévő kocka az egy szinttel alatta lévővel.
a) Hány kockát tartalmaz a 15 szintes lépcső legalsó szintje?
b) Legfeljebb milyen magas (hány szintes) az a lépcső, amelyet Aladár megépíthet?
c) Hány építőkocka marad felhasználatlan, ha Aladár egy időben többféle (egymástól különböző) lépcsőt is építhet és a lehető legtöbb kockát szeretné felhasználni?
a) Hány kockát tartalmaz a 15 szintes lépcső legalsó szintje?
b) Legfeljebb milyen magas (hány szintes) az a lépcső, amelyet Aladár megépíthet?
c) Hány építőkocka marad felhasználatlan, ha Aladár egy időben többféle (egymástól különböző) lépcsőt is építhet és a lehető legtöbb kockát szeretné felhasználni?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matematika
Matematika
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
a) Ha nagyon nincs ötleted, leszámolod (most fordítva írom, a felső sor az 1.):
1. sor: 1
2. sor: 1+2=3
3. sor: 3+2=5
4. sor: 5+2=7
5. sor: 7+2=9
.
.
.
15. sor: 29, tehát 29 kockát tartalmaz.
Feltételezem, hogy a feladat a számtani sorozatokat szeretné gyakoroltatni, ezért használhatjuk az általános tagképletet:
an = a₁ + (n-1)*d, vagyis
an = 1 + (15-1)*2 = 1+28=29.
b) Hasonló a tematika, mint az előbb:
1 soros lépcső: 1
2 soros lépcső: 1+3=4
3 soros lépcső: 1+3+5=9
4 soros lépcső: 1+3+5+7=16
Ezt addig folytatjuk, amíg nem érünk 150 fölé.
A feladathoz egyébként a számtani sorozat összegképletét kellene használni:
Sn = (2*a₁+(n-1)*d)*n/2, de lehet köztük kisebb-egyenlő jelet is használni:
150 ≥ (2*1+(n-1)*2)*n/2, ebből egy másodfokú egyenlőtlenséget fogunk kapni, melynek (pozitív) eredménye: n≤12,24, tehát 12 sorból áll a lépcső, ekkor (2*1+(12-1)*2)*12/2=144 kockából áll.
c) Ha felépíti a legnagyobbat, akkor 6 kocka marad ki, ebből fel tud építeni egy 2-soros és egy 1-soros lépcsőt, ezekhez összesen 5 kockát használ fel, tehát marad 1, így már csak az a kérdés, hogy fel tudja-e ennél jobban használni a kockákat; a fenti egyenlőtlenségben elvégeztük a műveleteket, és a jobb oldalon n² maradt, ez azt jelenti, hogy az n sorból álló lépcsőben összesen n² darab kocka van (ez fent is szépen látszik, hogy valóban így követik egymást). Próbáljuk meg a nagy lépcsőt szétbontani úgy, hogy mindig az alsó sort vesszük el, és nézzük meg, hogy ezzel a +1-gyel, kapunk-e valamikor négyzetszámot; a nagy lépcsősor legalsó sorában 23 kocka található, 23+1 nem négyzetszám. Ha elvesszük a következő sort, akkor 21-et veszünk el, 23+21+1 még mindig nem négyzetszám. A következő sor 19 kockából áll, 23+21+19+1=64, ez már négyzetszám, tehát ezekből tudunk egy újabb lépcsősort építeni. Hogy melyik az a lépcsősor, amelyik 64 kockából áll, azt számold ki te.
A végeredmény az, hogy minden kockát be tud építeni, hogyha ügyesen jár el.
1. sor: 1
2. sor: 1+2=3
3. sor: 3+2=5
4. sor: 5+2=7
5. sor: 7+2=9
.
.
.
15. sor: 29, tehát 29 kockát tartalmaz.
Feltételezem, hogy a feladat a számtani sorozatokat szeretné gyakoroltatni, ezért használhatjuk az általános tagképletet:
an = a₁ + (n-1)*d, vagyis
an = 1 + (15-1)*2 = 1+28=29.
b) Hasonló a tematika, mint az előbb:
1 soros lépcső: 1
2 soros lépcső: 1+3=4
3 soros lépcső: 1+3+5=9
4 soros lépcső: 1+3+5+7=16
Ezt addig folytatjuk, amíg nem érünk 150 fölé.
A feladathoz egyébként a számtani sorozat összegképletét kellene használni:
Sn = (2*a₁+(n-1)*d)*n/2, de lehet köztük kisebb-egyenlő jelet is használni:
150 ≥ (2*1+(n-1)*2)*n/2, ebből egy másodfokú egyenlőtlenséget fogunk kapni, melynek (pozitív) eredménye: n≤12,24, tehát 12 sorból áll a lépcső, ekkor (2*1+(12-1)*2)*12/2=144 kockából áll.
c) Ha felépíti a legnagyobbat, akkor 6 kocka marad ki, ebből fel tud építeni egy 2-soros és egy 1-soros lépcsőt, ezekhez összesen 5 kockát használ fel, tehát marad 1, így már csak az a kérdés, hogy fel tudja-e ennél jobban használni a kockákat; a fenti egyenlőtlenségben elvégeztük a műveleteket, és a jobb oldalon n² maradt, ez azt jelenti, hogy az n sorból álló lépcsőben összesen n² darab kocka van (ez fent is szépen látszik, hogy valóban így követik egymást). Próbáljuk meg a nagy lépcsőt szétbontani úgy, hogy mindig az alsó sort vesszük el, és nézzük meg, hogy ezzel a +1-gyel, kapunk-e valamikor négyzetszámot; a nagy lépcsősor legalsó sorában 23 kocka található, 23+1 nem négyzetszám. Ha elvesszük a következő sort, akkor 21-et veszünk el, 23+21+1 még mindig nem négyzetszám. A következő sor 19 kockából áll, 23+21+19+1=64, ez már négyzetszám, tehát ezekből tudunk egy újabb lépcsősort építeni. Hogy melyik az a lépcsősor, amelyik 64 kockából áll, azt számold ki te.
A végeredmény az, hogy minden kockát be tud építeni, hogyha ügyesen jár el.
0
- Még nem érkezett komment!