Kikötések kellenek az elején:
`sin α ≠ 0 \ \ \ \ → \ \ \ \ α ≠ kπ`
`ctg \ \ \ \ → \ \ \ \ α ≠ kπ`
`tg \ \ \ \ → \ \ \ \ π/4-α/2 ≠ π/2-kπ \ \ \ \ → \ \ \ \ π/2 - α ≠ π-2kπ \ \ \ \ → \ \ \ \ α ≠ 2kπ-π/2`

Aztán amit csináltál, az nem rossz... bár az utolsót már kicsit máshogy csináltam volna:

`(1-tg\ x)/(1+tg\ x)=(1-(sin\ x)/(cos\ x))/(1+(sin\ x)/(cos\ x))=(cos\ x-sin\ x)/(cos\ x+sin\ x)`
és ezzel a nevezővel szoroztam volna be:
`(cos\ x-sin\ x)(1+sin\ 2x)=cos\ 2x(cos\ x+sin\ x)`
`(cos\ x-sin\ x)(1+2·sin\ x·cos\ x)=(cos^2x-sin^2x)(cos\ x+sin\ x)`
`(cos\ x-sin\ x)(1+2·sin\ x·cos\ x)=(cos\ x-sin\ x)(cos\ x+sin\ x)^2`
Akkor lehetne `cosx-sinx=0`, ha `x=π/4+kπ` vagyis ha `α=π/2+2kπ`, de az a kikötés miatt nem lehetséges. Ezért oszthatunk vele:
`1+2·sin\ x·cos\ x=(cos\ x+sin\ x)^2`
`1+2·sin\ x·cos\ x=cos^2x+2·cos\ x·sin\ x+sin^2x`
Ez pedig azonosság.

Vagyis a kikötésen kívül minden α-ra teljesül az egyenlet.