Rég volt már ez a kérdésed, de hátha érdekes még...

Csak az a megoldás jut hirtelen eszembe, hogy nézzük meg, mikor van szélsőértéke a szinuszos összegnek. Vagyis mikor nulla a deriváltja?
`2cosx+2cos(2x)=0`
`cosx+2cos^2x-1=0`
ami ugyanaz, mint `2u^2+u-1=0`
`u_(1,2)=(-1+-sqrt(1+8))/4`
`cosx_1 = 1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ` → `x_1=+-π/3+2kπ`
`cosx_2 = "-1"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ` → `x_2=+-π+2kπ`
Ezeken a helyeken lehet szélsőértéke a `2sinx+sin2x` kifejezésnek. Egyszerű behelyettesítéssel kijön, hogy mi ez az érték:

`sin(x_1)=+-sqrt3/2`
`sin(2x_1)=+-sqrt3/2`
`|2sinx_1+sin2x_1|=(3sqrt3)/2`

`sin(x_2)=0`
`sin(2x_2)=0`
Ebből 0 jön ki. Egyébként ezen a helyeken nem szélsőértéke, hanem inflexiós pontja van a függvénynek, de ez nem igazán számít...

Már csak azt kell belátni, hogy
`(3sqrt3)/2 < (3+2sqrt2)/2`
emeljük négyzetre
`9·3 < 9+2·3·2sqrt2+4·2`
`27 < 17+12sqrt2`
ami bőven igaz.

Biztos van valamilyen elemi megoldása is, de nem jövök rá...