1. Első körben szorzzunk a-val, hogy ne kelljen törtekkel számolni:

a²x + (a²+a)x + 1 = 0

Írjuk fel a megoldóképletet erre a másodfokú egyenletre; A=a², B=a²+a, C=1, így:

x1;2=(-(a²+a)±√ (a²+a)²-4*a*1 )/(2a)

A fenti képlet akkor nem fog megoldást adni, hogyha olyan műveletet kell elvégeznünk, amelyet nem tudunk. Mivel a kikötés szerint a≠0, ezért egyedül a gyökvonás művelete lehet aggályos, mivel negatív számból nem tudunk gyököt vonni, tehát az egyenletnek akkor nem lesz megoldása, hogyha a gyökjel alatt negatív, azaz 0-nál kisebb szám áll;

(a²+a)²-4*a*1 < 0, kibontjuk a zárójelet:
a⁴+2*a³+a²-4a < 0, emeljünk ki a-t:
a*(a³+2a²+a-4) < 0

Szerencsére könnyen észrevehető, hogy a harmadfokú kifejezésnek gyöke az 1, ez azt jelenti, hogy (a-1) kiemelhető belőle. Ha szükséges, leírom, hogy mi alapján jön ki a szorzat, de a teljesség igénye nélkül ez lesz a következő lépés:

a*(a-1)*(a²+3a+4) < 0, a négyzetes tagnak nincs valós gyöke, így az már tovább nem bontható, és mivel tetszőleges a-ra pozitív értéket vesz fel, ezért nyugodt szívvel lehet vele osztani:

a*(a-1) < 0, ezt az egyenlőtlenséget már könnyedén meg tudjuk oldani, és eredménynek 0<a<1 eredményt kapjuk, tehát ezen a értékekre nem lesz megoldása az egyenletnek.

2. Tehát az (1/x₁²)+(1/x₂²) összeg kell. Közös nevezőre hozás és összevonás után:

(x₂²+x₁²)/(x₁²*x₂²)

Először nézzük a számlálót; adjunk hozzá 2x₁x₂-t, de az értékváltozás miatt el is kell vennünk;

x₂²+x₁²+2x₁x₂-2x₁x₂, ez azért jó, mert teljes négyzetet tudunk kialakítani:

(x₁+x₂)²-2x₁x₂, ez pedig azért jó, mert ezekre már tudjuk használni a Viéte-formulákat; x₁+x₂=-b/a, x₁*x₂=c/a, tehát:

(-b/a)²-2(c/a) = (b²/a²) -2(c/a) = (b²-2ca)/a², ez lesz a számláló.

Nevező: =(x₁*x₂)² = (c/a)² = c²/a², így a tört:

((b²-2ca)/a²) / (c²/a²) = ((b²-2ca)/a²) * (a²/c²) = (b²-2ca)/c², ezzel már nem tudunk mit csinálni, így végeztünk. Annyi van még, hogy sem a, sem c értéke nem lehet 0, mivel akkor nem is tudunk számolni, illetve a diszkrimináns (a megoldóképletben a gyökjel alatti rész, lásd. fent) nem lehet negatív.

3. Szemmel látható, hogy x-szel tudunk egyszerűsíteni:

(x²+2x-24) / (2x²+28x+96)

A számlálót és a nevezőt így már könnyedén gyöktényezős alakra tudjuk bontani;
számláló gyökei: -6 és 4, így (x+6)*(x-4)
nevező gyökei: -6 és 8, így 2*(x+6)*(x-8)
Látható, hogy (x+6)-tal egyszerűsíthetünk, így marad (x-4) / (2*(x-8)).

4. Legyen a téglalap két oldala x és y, ahol x<y. Értelemszerűen csak a rövidebbel párhuzamosan behúzott szakasz fog négyzetet levágni a téglalapból, ekkor a kisebb téglalap oldalainak hossza x és y-x. Attól függően, hogy így melyik lesz a kisebbik oldal, az arány kétféleképpen írható fel;

-ha x>y-x, vagyis ha x>y/2, akkor az arány:
x/y = (y-x)/x, szorzunk a nevezőkkel:
x² = y²-xy, kivonunk x²-et:
0 = y²-xy-x², erre felírjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét úgy, hogy x-et vesszük paraméternek, ekkor:

y = (x±√ x²+4x² )/2 = x*((1±√5)/2), innen
y/x = (1±√5)/2, de lévén az arány pozitív, így csak az (1+√5)/2 játszik.

-ha x<y/2, akkor:

x/y = x/(y-x), erre x=0 eredményt kapjuk, ami nem jó nekünk, tehát ez nem történik meg.

5. Ha x km/h sebességgel haladtunk és t órán keresztül, akkor:

x*t = 720

A visszaúton, a szöveg szerint, 15 km/h-val többel haladtunk, vagyis x+15 volt a sebességünk, így 1 órával kevesebb, vagyis t-1 ideig utaztunk, tehát:

(x+15)*(t-1) = 720

A két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, tehát egyenletrendszert alkotnak. Ez már nem jelenthet kihívást.