Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

András

YoloSwag999 kérdése
97
András felír a táblára három, nem feltétlenül különböző pozitív egész számot, melyek 2018-nál
kisebbek. Egy lépésben András a táblán lévő számokat (A,B és C) letörli, és ezen számok helyett az
http://www.kepfeltoltes.eu/view.php?filename=43820180409_170618_1_.jpg
számokat írja fel a táblára. Ezt a lépést összesen 11-szer megismételve három olyan egész szám van a táblán, melyek közül az egyik a 100. Melyik a táblán lévő másik két szám?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
bongolo { Aranyérmes } megoldása
`{:
(0., A ;, B ;, C)
,(1., (A+B)/2 ;, (B+C)/2 ;, (A+C)/2)
,(2., ((A+B)/2+(B+C)/2)/2 ;, ((B+C)/2+(A+C)/2)/2 ;, ((A+B)/2+(A+C)/2)/2 )
,(vagyis, (A+2B+C)/4 ;, (A+B+2C)/4 ;, (2A+B+C)/4 )
,(3., ( (A+2B+C)/4+(A+B+2C)/4 )/2 ;, ((A+B+2C)/4 + (2A+B+C)/4)/2 ;, ( (A+2B+C)/4 + (2A+B+C)/4 )/2)
,(vagyis, (2A+3B+3C)/8 ;, (3A+2B+3C)/8 ;, (3A+3B+2C)/8)
,(4., (5A+5B+6C)/(16) ;, (6A+5B+5C)/(16) ;, (5A+6B+5C)/(16))
,(5., (11A+10B+11C)/(32) ;, (11A+11B+10C)/(32) ;, (10A+11B+11C)/(32))
,(6., (22A+21B+21C)/(64) ;, (21A+22B+21C)/(64) ;, (21A+21B+22C)/(64))
:}`
Ezt lehetne még egyesével csinálni tovább, de menjünk gyorsabban: Ez a 6. sor azt jelenti, hogy ha A,B,C-ből kiindulva megcsináljuk a lépést, ilyen számokat kapunk. Viszont ha az 5. lépés utáni számokból kiindulva csináljuk meg még 6-szor, akkor pont a 11-edik lépés utánra jutunk:
`11. \ (22(11A+10B+11C)+21(11A+11B+10C)+21(10A+11B+11C))/(32·64)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ (21(11A+10B+11C)+22(11A+11B+10C)+21(10A+11B+11C))/(32·64)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (21(11A+10B+11C)+21(11A+11B+10C)+22(10A+11B+11C))/(32·64)`
`vagyis \ \ (683A + 682B + 683C)/(2048), (683A + 683B + 682C)/(2048), (682A + 683B + 683C)/(2048)`

Bármelyik is a 3 közül a 100, így néz ki:
`(683x + 682y + 683z)/(2048)=100`

Mindhárom szám egész kell legyen. Fejezd ki mondjuk x-et, aztán kiderül, hogy hogyan lesz egész. Próbáld meg befejezni, ha kell, segítek még.
1

bongolo { Aranyérmes } válasza
`683x + 682y + 683z=204800`
`683(x+y+z) = (683·300-100) + y`
`x+y+z = 300+(y-100)/683`

Mindkét oldal egész kell legyen, vagyis:

`bb"A jobb oldalon:"`
`(y-100)/683=k`
`y = 683k+100`
Ez kisebb 2018-nál, ezért `k` csak 0, 1 vagy 2 lehet.

`bb"A bal oldalon:"`
`x+y+z = 300+k`
`x+(683k+100)+z=300+k`
`x+z=200-682k`
Mivel mindegyik szám pozitív kell legyen, ezért csak `k=0` lehetséges.

Vagyis `y=100` és `x+z=200` a megoldás.
Nem tudjuk, hogy az `y` éppen az `A` vagy `B` vagy `C`-e?

A 11-edik iteráció után az egyik szám tehát 100, a másik két szám így néz ki:
`(682x + 683y + 683z)/(2048)` és `(683x + 683y + 682x)/(2048)`

Nézzük az egyiket:
`(682x + 683y + 683z)/(2048)=`
`=(682(x+z)+z+683y)/(2048)=`
`=(682·200+683·100+z)/(2048)=`
`=(204700+z)/(2048)=100+(z-100)/(2048)`
Ez is egész szám kell legyen. Mivel `z < 2018`, ezért ez csak akkor lehetséges, ha `z=100`

Vagyis `x=y=z=100`, tehát `A=B=C=100`, így a 11-edik iteráció után is mindhárom szám 100.
Módosítva: 1 hete
1