Részmegoldás, illetve ötlet:

Legyen `u=sqrt2y` és `v=2z`:
`x^4+u^4+v^4+64=8sqrt2·xuv`
Sőt, esetleg legyen még `w=2sqrt2`:
`x^4+u^4+v^4+w^4=4·xuvw`
Ennek egyik triviális megoldása az, hogy `x=u=v=w`.
Vagyis az eredeti egyenletnek ez egy megoldása:
`x=2sqrt2`
`y=2`
`z=sqrt2`
Vagyis a válasz az, hogy `x+y+z=2+3sqrt2` egy lehetséges megoldás.
Be kellene még látni, hogy több nincs. Már ha nincs...