Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Négyzetszám igazolás
zsoci33
kérdése
664
Határozzuk meg azokat az n pozitív egészeket, amelyekre
1⋅2^0+2⋅2^1+3⋅2^2+…+n⋅2^(n−1)
négyzetszám.
1⋅2^0+2⋅2^1+3⋅2^2+…+n⋅2^(n−1)
négyzetszám.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Ha átíród úgy, hogy
`2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ +2^1+2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +...`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^(n-1)`
akkor mértani sorozatokkal az adódik, hogy ez
`=(2^n-1)+2^1(2^(n-1)-1)+2^2(2^(n-2)-1)+...+2^(n-1)(2-1)`
`=2^n-1+2^n-2+2^n-2^2+...+2^n-2^(n-1)`
`=n·2^n-(2^n-1)`
`=(n-1)·2^n+1`
Vagyis azokat az `n`-eket keressük, amikre
`(n-1)·2^n+1=k^2`
`(n-1)·2^n=(k-1)(k+1)`
Mondjuk `n=5`-ig minden számot megnézve az adódik, hogy `n=1` és `n=4` esetén lesz megoldás (`k=1` illetve `k=7`). Lássuk be, hogy nincs több megoldás.
Tegyük fel, hogy valamely 5-nél nagyobb `n` esetén is van megoldás ilyen feltételekkel:
`n-1=a·b`
`n=c+d`
(ahol `a,b,c,d` nemnegatív egészek)
`(n-1)·2^n=a·b·2^c·2^d=(k-1)(k+1)`
és az a megoldás, hogy
`a·2^c=k-1`
`b·2^d=k+1`
ezért
`a·2^c+2=b·2^d`
`a·2^(c-1)+1=b·2^(d-1)`
Ha `c` és `d` mindkettő 1-nél nagyobb, akkor a jobb oldal páros, a bal oldal páratlan, ez nem lehet. Vagyis az egyik 1 vagy 0 kell legyen, a másik pedig `n-1` vagy `n`.
Vagyis az egyik oldalon van egy legalább `2^(n-1)` értékű szám, a másikon viszont egy legfeljebb `2n+1` értékű. `n>4` esetén viszont `2^(n-1) > 2n+1`, ellentmondásra jutottunk. Tehát nincs több megoldás.
`2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ +2^1+2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +...`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^(n-1)`
akkor mértani sorozatokkal az adódik, hogy ez
`=(2^n-1)+2^1(2^(n-1)-1)+2^2(2^(n-2)-1)+...+2^(n-1)(2-1)`
`=2^n-1+2^n-2+2^n-2^2+...+2^n-2^(n-1)`
`=n·2^n-(2^n-1)`
`=(n-1)·2^n+1`
Vagyis azokat az `n`-eket keressük, amikre
`(n-1)·2^n+1=k^2`
`(n-1)·2^n=(k-1)(k+1)`
Mondjuk `n=5`-ig minden számot megnézve az adódik, hogy `n=1` és `n=4` esetén lesz megoldás (`k=1` illetve `k=7`). Lássuk be, hogy nincs több megoldás.
Tegyük fel, hogy valamely 5-nél nagyobb `n` esetén is van megoldás ilyen feltételekkel:
`n-1=a·b`
`n=c+d`
(ahol `a,b,c,d` nemnegatív egészek)
`(n-1)·2^n=a·b·2^c·2^d=(k-1)(k+1)`
és az a megoldás, hogy
`a·2^c=k-1`
`b·2^d=k+1`
ezért
`a·2^c+2=b·2^d`
`a·2^(c-1)+1=b·2^(d-1)`
Ha `c` és `d` mindkettő 1-nél nagyobb, akkor a jobb oldal páros, a bal oldal páratlan, ez nem lehet. Vagyis az egyik 1 vagy 0 kell legyen, a másik pedig `n-1` vagy `n`.
Vagyis az egyik oldalon van egy legalább `2^(n-1)` értékű szám, a másikon viszont egy legfeljebb `2n+1` értékű. `n>4` esetén viszont `2^(n-1) > 2n+1`, ellentmondásra jutottunk. Tehát nincs több megoldás.
0
- Még nem érkezett komment!