Ha átíród úgy, hogy
`2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ +2^1+2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^2+...+2^(n-1)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +...`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^(n-1)`
akkor mértani sorozatokkal az adódik, hogy ez
`=(2^n-1)+2^1(2^(n-1)-1)+2^2(2^(n-2)-1)+...+2^(n-1)(2-1)`
`=2^n-1+2^n-2+2^n-2^2+...+2^n-2^(n-1)`
`=n·2^n-(2^n-1)`
`=(n-1)·2^n+1`

Vagyis azokat az `n`-eket keressük, amikre
`(n-1)·2^n+1=k^2`
`(n-1)·2^n=(k-1)(k+1)`

Mondjuk `n=5`-ig minden számot megnézve az adódik, hogy `n=1` és `n=4` esetén lesz megoldás (`k=1` illetve `k=7`). Lássuk be, hogy nincs több megoldás.

Tegyük fel, hogy valamely 5-nél nagyobb `n` esetén is van megoldás ilyen feltételekkel:
`n-1=a·b`
`n=c+d`
(ahol `a,b,c,d` nemnegatív egészek)
`(n-1)·2^n=a·b·2^c·2^d=(k-1)(k+1)`
és az a megoldás, hogy
`a·2^c=k-1`
`b·2^d=k+1`

ezért
`a·2^c+2=b·2^d`
`a·2^(c-1)+1=b·2^(d-1)`
Ha `c` és `d` mindkettő 1-nél nagyobb, akkor a jobb oldal páros, a bal oldal páratlan, ez nem lehet. Vagyis az egyik 1 vagy 0 kell legyen, a másik pedig `n-1` vagy `n`.
Vagyis az egyik oldalon van egy legalább `2^(n-1)` értékű szám, a másikon viszont egy legfeljebb `2n+1` értékű. `n>4` esetén viszont `2^(n-1) > 2n+1`, ellentmondásra jutottunk. Tehát nincs több megoldás.