Térgeometria

A lenti ábrán egy gömbbe írt álló henger fősíkmetszete látható. Feltettem, hogy a henger átmérője x távolságra van a gömb középpontjától, így az ábrán látható módon egy derékszögű háromszöget nyertünk, melynek átfogója 1, így a másik befogó hosszát Pitagorasz tétele adta, ez a szakasz felel meg a henger alapkörének sugarának. Kézenfekvő, hogy a téglalap függőleges oldala x+x=2x hosszú.

A tanult képletek szerint így már felírható a henger területe:

2*r*π*M = 2*√ 1-x² *π*2x, ennek a függvénynek a maximumára van szükségünk, mivel ezt kéri a feladat. Értelemszerűen x∈(0;1).

Nem nehéz rájönni, hogy a konstans szorzók nem befolyásolják a szélsőérték helyét, csak értékét, ezért ezeket nyugodt szívvel kiszedhetjük, és az x*√ 1-x²  függvény marad. Vigyük be x-et a gyökjel alá: = √ x² *√ 1-x² =√ x²*(1-x²) , ezzel gyakorlatilag két szám mértani közepét kaptuk, amiről pedig azt tudjuk, hogy legfeljebb a két szám számtani közepe lehet. vagyis (x²+(1-x²))/2=1/2, most az a kérdés, hogy ezt az értéket felveszi-e a függvény, tehát meg kell oldanunk ezt az egyenletet:

√ x²*(1-x²)  = 1/2, ez az egyenlet másodfokúra visszavezethető, és megoldásai: x=±1/√2, ami átírható ±√2/2 alakra. Ebből a negatívra nincs szükségünk, a √2/2 pedig beleesik az értelmezési tartományba, tehát ez kell nekünk.

Innen már csak annyi a dolgunk, hogy a maximumhelynek kapott értéket beírjuk a palást területképletébe: 2*√ 1-(√2/2)² *π*2*(√2/2), ennek kiszámolása maradjon Rád.