Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek s.o.s. Több feladat is van
nagycsilla
kérdése
6773
1.) Egy háromszög két oldalának hossza 6 cm és 10 cm hosszú. A harmadik oldal hossza szintén egész szám
centiméterben mérve.
a) Összesen hány ilyen háromszög létezhet ezekkel az adatokkal?
b) Van-e a háromszögek között derékszögű? Válaszát indokolja!
c) A háromszögek között van két egyenlőszárú háromszög. Számolja ki ezeknek a területét. Válaszát két
tizedes jegyre kerekítse.
2.) Egy rombusz oldalhossza 10 cm. Az egyik szöge 60°. Számolja ki az átlóinak hosszát, és határozza meg a
rombusz területét.
3.) Adja meg, hogy hány fokos egy belső szöge egy szabályos tizenkétszögnek. Határozza meg az átlóinak
számát!
4.) Adott egy 12 cm sugarú kör.
a. Számolja ki a kör területét, és kerületét.
b. A körvonaltól 3 cm távolságra lévő pontból érintőt húzunk a körhöz. Mekkora az érintési pont és az
adott pont távolsága.
c. Számolja ki annak a körcikknek a területét ebben a körben, melyhez 30°-os középponti szög tartozik.
d. A kör sugarát 18 cm-re növeljük. Mekkora ebben az esetben a kör területe?
5.) Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága, két részre osztja az átfogót. A két rész hossza 3 cm
és 5 cm hosszú. Számolja ki a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságát, az oldalak hosszát,
területét, és a köré írt körének sugarát.
centiméterben mérve.
a) Összesen hány ilyen háromszög létezhet ezekkel az adatokkal?
b) Van-e a háromszögek között derékszögű? Válaszát indokolja!
c) A háromszögek között van két egyenlőszárú háromszög. Számolja ki ezeknek a területét. Válaszát két
tizedes jegyre kerekítse.
2.) Egy rombusz oldalhossza 10 cm. Az egyik szöge 60°. Számolja ki az átlóinak hosszát, és határozza meg a
rombusz területét.
3.) Adja meg, hogy hány fokos egy belső szöge egy szabályos tizenkétszögnek. Határozza meg az átlóinak
számát!
4.) Adott egy 12 cm sugarú kör.
a. Számolja ki a kör területét, és kerületét.
b. A körvonaltól 3 cm távolságra lévő pontból érintőt húzunk a körhöz. Mekkora az érintési pont és az
adott pont távolsága.
c. Számolja ki annak a körcikknek a területét ebben a körben, melyhez 30°-os középponti szög tartozik.
d. A kör sugarát 18 cm-re növeljük. Mekkora ebben az esetben a kör területe?
5.) Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága, két részre osztja az átfogót. A két rész hossza 3 cm
és 5 cm hosszú. Számolja ki a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságát, az oldalak hosszát,
területét, és a köré írt körének sugarát.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
1) A háromszög három oldalaira a háromszög-egyenlőtlenségnek kell teljesülnie; bármelyik két oldal összege nagyobb kell, hogy legyen a harmadik oldalnál. Mivel ha a legnagyobb oldal szerepel az összegben, így az összeg biztosan nagyobb a harmadik oldalnál, így a fenti egyenlőtlenség úgy is felírható, hogy a két kisebb oldal összege kell, hogy nagyobb legyen a legnagyobb oldalnál. Eszerint az ismeretlen, x oldal hossza kétféle lehet;
-ha az a legnagyobb, vagyis x≥10, akkor ennek az egyenlőtlenségnek kell teljesülnie: 6+10>x, vagyis x>16. A két egyenlőtlenség a 10;11;12;13;14;15 számok esetén teljesül, tehát a harmadik oldal hossza ennyi lehet.
-ha a 10 a legnagyobb, vagyis x<10, akkor az egyenlőtlenség: x+6>10, vagyis x>4, a két egyenlőtlenség az 5;6;7;8;9 számok esetén fog teljesülni.
Tehát a harmadik oldal hossza 11-féle lehet, ennyi háromszög szerkeszthető.
b) Ha van köztük derékszögű, akkor valamelyikre teljesül Pitagorasz tétele. Vagy felírjuk az összes eshetőségre a tételt, vagy pedig megoldjuk a fenti esetszétválasztás szerint;
-ha x a legnagyobb, akkor ez lesz az átfogó, tehát 6²+10²=x², vagyis 136=x². Ha tanultál gyökvonást, akkor gyököt vonsz belőle, és látod, hogy x értéke nem lesz egész, tehát abban az esetben, amikor az ismeretlen oldal a legnagyobb, nincs derékszögű háromszög. Ha nem tanultál gyökvonást, akkor végignézed az egész számok négyzeteit, és azt kapod, hogy 11²=121, 12²=144, és értelemszerűen nagyobb szám négyzete nagyobb, ezért nincs olyan egész szám, amelynek négyzete 136 lenne.
-ha a 10 a legnagyobb, akkor x² + 6² = 10², erre x²=64-et kapjuk, ennek megoldása pedig könnyen látható, x=8. Tehát a 6-8-10 cm oldalú háromszög lesz derékszögű a lehetőségek közül, így a kérdésre a válasz az, hogy igen.
c) A két háromszög a 6-6-10 és 6-10-10 cm hosszúak. A területhez valamelyik oldalhoz tartozó magasságot érdemes kiszámolni, és mivel tudjuk, hogy az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így érdemes azt kiszámolni;
-6-6-10 esetén a magasság olyan derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, amelynek egyik befogója 10/2=5 cm, átfogója 6 cm, és ha m-mel jelöljük a magasságot, akkor Pitagorasz tétele szerint: m² + 5² = 6², ennek megoldása m=√ 11 , tehát a magasság √ 11 cm hosszú. A háromszög területképlete szerint a háromszög területe (10*√ 11 )/2=5*√ 11 cm². A feladat azt kéri, hogy ezt két tizedesjegy pontossággal kerekítve adjuk meg. A pontos kerekítést akkor kapjuk meg, hogyha átírjuk a fenti számot úgy, hogy összesen 1 gyökjel szerepeljen benne, ehhez használjuk a √a*√b=√ a*b azonosságot;
5*√ 11 = √ 25 *√ 11 = √ 25*11 = √ 275 , és ebből vonunk gyököt; 16,58 cm. Ha úgy számolunk, hogy a √ 11 =~3,32-es kerekítéssel számolunk, akkor 5*3,32=16,6-et kapjuk eredménynek, így látható, hogy 8 századot elvesztettünk, ezért volt érdemesebb a fenti eljárást választani. Ha mégsem ezt választanánk, akkor a gyökös kifejezést több tizedesjegyre kell kerekíteni (mondjuk 6 elég, de minél több, annál jobb).
-6-10-10 esetén az egyik befogó hossza 6/2=3 cm, így Pitagorasz tétele: m² + 3² = 10², ennek megoldása m=√ 91 , vagyis a magasság √ 91 cm hosszú, így maradva az első variációnál:
(6*√ 91 )/2 = 3*√ 91 = √9 * √ 91 = √ 9*91 = √ 819 =~28,62 cm.
2. A rombuszról azt kell tudni, hogy a két átellenes szöge ugyanakkora, vagyis ha az egyik szöge 60°-os, akkor vele szemközt is az van. A másik két szög nagyságát többféle módon is ki lehet számolni, de talán a legegyszerűbb arra hivatkozni, hogy az átlók felezik a szögeket, így a rombuszt két egyenlő szárú háromszögre bontják, ahol az alapon fekvő szögek nagysága 60°/2=30°. Tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, így a harmadik szög nagysága, egyben a rombusz másik szöge, 120°-os. A rombusz ezen szögére is igaz, hogy az átló felezi, emiatt ez az átló a rombuszt két szabályos háromszögre bontja (mivel mindegyik szöge 60°-os lesz), tehát a 120°-os szöget felező átló hossza 10 cm.
A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, ezért a másik átló fele egyben a szabályos háromszög magassága lesz. A magasságot ugyanúgy számoljuk ki, mint az előző feladatban; a magasság két olyan derékszögre bontja a szabályos háromszöget, amelyben az átfogó hossza 10 cm, a befogók hossza 5 és x cm, ekkor Pitagorasz tétele:
5² + x² = 10², erre x=√ 75 adódik. Az átló két ilyenből áll, tehát az átló hossza 2*√ 75 cm.
A rombusz speciális deltoid, így annak területképletével is számolható a terület; átlók szorzata/2 = (10*2*√ 75 )/2 = 10*√ 75 = √ 100 * √ 75 = √ 100*75 = √ 7500 cm, igény szerint lehet kerekíteni.
3) Tetszőleges n oldalú sokszög belső szögeinek összege 180°*(n-2). Mivel a szabályos sokszög minden szöge ugyanakkora, és n darab van belőlük, ezért 1 belső szöge 180°*(n/2)/n nagyságú. Esetünkben n=12, így 180°*(12-2)/12=150°-osak a belső szögek.
Az átlók számát az n*(n-3)/2 adja meg, így 12*(12-3)/2=54 átlója van.
4a) Az r sugarú kör kerülete 2*r*π, területe r²*π, így a fenti kör kerülete 2*12*π=24π cm, területe 12²*π=144π cm², igény szerint lehet kerekíteni őket. Ha a π=~3,14-es kerekítést választod, akkor a kör kerülete 75,36 cm, területe 452,16 cm²
b) Az érintő, így az érintőszakasz is merőleges a kör sugarára, ezért kapunk egy derékszögű háromszöget, ahol az átfogó hossza a kör középpontjának távolsága, vagyis 12+3=15 cm, az egyik befogó a kör sugara, vagyis 12 cm, így ha a harmadik oldal x, akkor Pitagorasz tétele szerint:
12² + x² = 15², ennek megoldása x=9, tehát az érintőszakasz hossza 9 cm.
c) A teljes kör középponti szöge 360°. Ha ezt felosztjuk sugárirányban 12 egyenlő részre, akkor kapjuk meg a 30°-os körcikkeket. Ezek a körcikkek egybevágóak, tehát a körívek hosszai is mind egyenlőek, tehát a teljes körívet is 12 egyenlő részre osztottuk, így a körcikkhez tartozó körív hossza 24π/12=2π cm, igény szerint kerekíthető.
d) Ebben az esetben a kör területe 18²*π=324π cm².
5.) A legegyszerűbb megoldás a magasságtétel használata; m=√ p*q , ahol m a magasság, p és q az átfogó két kisebb része, így az átfogóhoz tartozó magasság √ 3*5 = √ 15 cm hosszú. Érdemes gyökös alakban hagyni, meg is látjuk, miért; a magasság két kisebb derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, így erre is felírható Pitagorasz tétele; az egyik esetben a befogók hossza 3 cm és √ 15 cm, és ha az étfogó x, akkor:
3² + √ 15 ² = x², vagyis 9+15=x², ennek megoldás √ 24 =x.
A másik kisebb háromszögben a befogók hossza 5 cm és √ 15 cm, az átfogót y-bal jelölve:
5² + √ 15 ² = y², vagyis 25+15 = y², ennek eredménye √ 40 =y.
A háromszög átfogójának hossza 3+5=8 cm. Thalesz tételének értelmében tudjuk, hogy a derékszögű háromszög köréírt körének átmérője a háromszög átfogója, vagyis 8 cm, ennek fele a sugár, vagyis 4 cm.
-ha az a legnagyobb, vagyis x≥10, akkor ennek az egyenlőtlenségnek kell teljesülnie: 6+10>x, vagyis x>16. A két egyenlőtlenség a 10;11;12;13;14;15 számok esetén teljesül, tehát a harmadik oldal hossza ennyi lehet.
-ha a 10 a legnagyobb, vagyis x<10, akkor az egyenlőtlenség: x+6>10, vagyis x>4, a két egyenlőtlenség az 5;6;7;8;9 számok esetén fog teljesülni.
Tehát a harmadik oldal hossza 11-féle lehet, ennyi háromszög szerkeszthető.
b) Ha van köztük derékszögű, akkor valamelyikre teljesül Pitagorasz tétele. Vagy felírjuk az összes eshetőségre a tételt, vagy pedig megoldjuk a fenti esetszétválasztás szerint;
-ha x a legnagyobb, akkor ez lesz az átfogó, tehát 6²+10²=x², vagyis 136=x². Ha tanultál gyökvonást, akkor gyököt vonsz belőle, és látod, hogy x értéke nem lesz egész, tehát abban az esetben, amikor az ismeretlen oldal a legnagyobb, nincs derékszögű háromszög. Ha nem tanultál gyökvonást, akkor végignézed az egész számok négyzeteit, és azt kapod, hogy 11²=121, 12²=144, és értelemszerűen nagyobb szám négyzete nagyobb, ezért nincs olyan egész szám, amelynek négyzete 136 lenne.
-ha a 10 a legnagyobb, akkor x² + 6² = 10², erre x²=64-et kapjuk, ennek megoldása pedig könnyen látható, x=8. Tehát a 6-8-10 cm oldalú háromszög lesz derékszögű a lehetőségek közül, így a kérdésre a válasz az, hogy igen.
c) A két háromszög a 6-6-10 és 6-10-10 cm hosszúak. A területhez valamelyik oldalhoz tartozó magasságot érdemes kiszámolni, és mivel tudjuk, hogy az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így érdemes azt kiszámolni;
-6-6-10 esetén a magasság olyan derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, amelynek egyik befogója 10/2=5 cm, átfogója 6 cm, és ha m-mel jelöljük a magasságot, akkor Pitagorasz tétele szerint: m² + 5² = 6², ennek megoldása m=√ 11 , tehát a magasság √ 11 cm hosszú. A háromszög területképlete szerint a háromszög területe (10*√ 11 )/2=5*√ 11 cm². A feladat azt kéri, hogy ezt két tizedesjegy pontossággal kerekítve adjuk meg. A pontos kerekítést akkor kapjuk meg, hogyha átírjuk a fenti számot úgy, hogy összesen 1 gyökjel szerepeljen benne, ehhez használjuk a √a*√b=√ a*b azonosságot;
5*√ 11 = √ 25 *√ 11 = √ 25*11 = √ 275 , és ebből vonunk gyököt; 16,58 cm. Ha úgy számolunk, hogy a √ 11 =~3,32-es kerekítéssel számolunk, akkor 5*3,32=16,6-et kapjuk eredménynek, így látható, hogy 8 századot elvesztettünk, ezért volt érdemesebb a fenti eljárást választani. Ha mégsem ezt választanánk, akkor a gyökös kifejezést több tizedesjegyre kell kerekíteni (mondjuk 6 elég, de minél több, annál jobb).
-6-10-10 esetén az egyik befogó hossza 6/2=3 cm, így Pitagorasz tétele: m² + 3² = 10², ennek megoldása m=√ 91 , vagyis a magasság √ 91 cm hosszú, így maradva az első variációnál:
(6*√ 91 )/2 = 3*√ 91 = √9 * √ 91 = √ 9*91 = √ 819 =~28,62 cm.
2. A rombuszról azt kell tudni, hogy a két átellenes szöge ugyanakkora, vagyis ha az egyik szöge 60°-os, akkor vele szemközt is az van. A másik két szög nagyságát többféle módon is ki lehet számolni, de talán a legegyszerűbb arra hivatkozni, hogy az átlók felezik a szögeket, így a rombuszt két egyenlő szárú háromszögre bontják, ahol az alapon fekvő szögek nagysága 60°/2=30°. Tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, így a harmadik szög nagysága, egyben a rombusz másik szöge, 120°-os. A rombusz ezen szögére is igaz, hogy az átló felezi, emiatt ez az átló a rombuszt két szabályos háromszögre bontja (mivel mindegyik szöge 60°-os lesz), tehát a 120°-os szöget felező átló hossza 10 cm.
A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, ezért a másik átló fele egyben a szabályos háromszög magassága lesz. A magasságot ugyanúgy számoljuk ki, mint az előző feladatban; a magasság két olyan derékszögre bontja a szabályos háromszöget, amelyben az átfogó hossza 10 cm, a befogók hossza 5 és x cm, ekkor Pitagorasz tétele:
5² + x² = 10², erre x=√ 75 adódik. Az átló két ilyenből áll, tehát az átló hossza 2*√ 75 cm.
A rombusz speciális deltoid, így annak területképletével is számolható a terület; átlók szorzata/2 = (10*2*√ 75 )/2 = 10*√ 75 = √ 100 * √ 75 = √ 100*75 = √ 7500 cm, igény szerint lehet kerekíteni.
3) Tetszőleges n oldalú sokszög belső szögeinek összege 180°*(n-2). Mivel a szabályos sokszög minden szöge ugyanakkora, és n darab van belőlük, ezért 1 belső szöge 180°*(n/2)/n nagyságú. Esetünkben n=12, így 180°*(12-2)/12=150°-osak a belső szögek.
Az átlók számát az n*(n-3)/2 adja meg, így 12*(12-3)/2=54 átlója van.
4a) Az r sugarú kör kerülete 2*r*π, területe r²*π, így a fenti kör kerülete 2*12*π=24π cm, területe 12²*π=144π cm², igény szerint lehet kerekíteni őket. Ha a π=~3,14-es kerekítést választod, akkor a kör kerülete 75,36 cm, területe 452,16 cm²
b) Az érintő, így az érintőszakasz is merőleges a kör sugarára, ezért kapunk egy derékszögű háromszöget, ahol az átfogó hossza a kör középpontjának távolsága, vagyis 12+3=15 cm, az egyik befogó a kör sugara, vagyis 12 cm, így ha a harmadik oldal x, akkor Pitagorasz tétele szerint:
12² + x² = 15², ennek megoldása x=9, tehát az érintőszakasz hossza 9 cm.
c) A teljes kör középponti szöge 360°. Ha ezt felosztjuk sugárirányban 12 egyenlő részre, akkor kapjuk meg a 30°-os körcikkeket. Ezek a körcikkek egybevágóak, tehát a körívek hosszai is mind egyenlőek, tehát a teljes körívet is 12 egyenlő részre osztottuk, így a körcikkhez tartozó körív hossza 24π/12=2π cm, igény szerint kerekíthető.
d) Ebben az esetben a kör területe 18²*π=324π cm².
5.) A legegyszerűbb megoldás a magasságtétel használata; m=√ p*q , ahol m a magasság, p és q az átfogó két kisebb része, így az átfogóhoz tartozó magasság √ 3*5 = √ 15 cm hosszú. Érdemes gyökös alakban hagyni, meg is látjuk, miért; a magasság két kisebb derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, így erre is felírható Pitagorasz tétele; az egyik esetben a befogók hossza 3 cm és √ 15 cm, és ha az étfogó x, akkor:
3² + √ 15 ² = x², vagyis 9+15=x², ennek megoldás √ 24 =x.
A másik kisebb háromszögben a befogók hossza 5 cm és √ 15 cm, az átfogót y-bal jelölve:
5² + √ 15 ² = y², vagyis 25+15 = y², ennek eredménye √ 40 =y.
A háromszög átfogójának hossza 3+5=8 cm. Thalesz tételének értelmében tudjuk, hogy a derékszögű háromszög köréírt körének átmérője a háromszög átfogója, vagyis 8 cm, ennek fele a sugár, vagyis 4 cm.
0
- Még nem érkezett komment!