Középponti szög ?

Olyan kérdésem lenne, hogy azt meg tudnád oldani, hogyha a középponti szög lenne megadva, és a körív hossza lenne a kérdés? Például ha a középponti szög 60°, akkor mekkora lenne a körív?

Akkor kezdjük ezzel az iránnyal;

Vegyünk egy egységsugarú kört, tehát sugara 1, így kerülete (a képlet szerint) 2π. A teljes kör középponti szöge 360° (teljesszög). Osszuk fel ezt a kört 360 részre sugárirányban, ekkor 360 darab 1°-os középponti szöggel rendelkező körcikket kapunk. Nem nehéz belátni, hogy ezek egybevágóak (forgatással egymásba vihetőek), emiatt a hozzájuk tartozó körívek hosszai is mind ugyanolyan hosszúak, és lévén 2π hosszt daraboltunk fel 360 egyenlő részre, ezért az ívek hossza egyenként 2π/360 hosszúak. Ha ezekből a körcikkekből kiválasztunk α darabot (a jobb érthetőség kedvéért α értéke csak egész lehet, de 360-nál nem több), akkor egy α középpontú körcikket kapunk, az ehhez tartozó körív hossza értelemszerűen α*(2π/360) hosszú lesz.

Ha nyilakkal ábrázolom a fenti eredményeket, talán jobban lehet látni az összefüggéseket:

360° → 2π
1° → 2π/360
α → α*(2π/360)

Azt vehetjük észre, hogy amennyivel változtattuk a szögek mértékét (először osztottuk 360-nal, majd szoroztuk α-val), a másik oldalon pont ugyanaz történt az ívhosszal is. Ezzel már találkoztunk tanulmányaink során, és egyenes arányosságnak neveztük. Ez azt jelenti, hogy a körcikk középponti szöge és a hozzá tartozó körív mértéke között egyenes arányosság áll fenn. Ez a számítás tetszőleges α szögre működik, de a nem egész α-ra vonatkozó számítás bizonyítása körülményesebb lenne (irracionális α-ra pedig nem is lehet belátni határértékszámítás nélkül), ezért csak elfogadjuk, hogy valóban így működik.
Ebből fakadóan az is igaz, hogyha nem a szöget, hanem a körívet osztogatjuk/szorozgatjuk, akkor a szög is ugyanúgy fog változni, és nekünk most ez kell;

Első körben a kör kerülete 2*10*π=20π cm hosszú, ehhez tartozik a 360°-os középponti szög:

20π cm → 360°, azt akarjuk elérni, hogy a bal oldalon csak 20 cm legyen. Általában nincs szerencsénk, de most van; a 20π-ből 20-at 1 lépésben meg tudjuk tenni, méghozzá úgy, hogy osztunk π-vel, ekkor a másik oldalon is π-vel osztunk a fentiek értelmében:

20 cm → 360°/π, tehát a 20 cm-es körívhez 360°/π nagyságú középponti szög tartozik, igény szerint lehet kerekíteni (ha számológéppel számolsz, az több tizedesjegy pontossággal képes kezelni π értékét, ekkor ~114,5916°-ot kapunk, ha a π=~3,14-es kerekítést használod, akkor 114,6497°-ot kapod, ha pedig a személyes kedvencemmel, vagyis π=~3,1416-tal, akkor 114,5913°-ot kapunk).

Természetesen maga a számolás az egyenes arányosság definíciójával is számolható, vagyis az összetartozó értékpárok hányadosa állandó, így:

20π cm → 360°
20 cm → α, ekkor az egyenlet:

360/(20π) = α/20, és ezt az egyenletet megoldjuk, és (360/π)° = α megoldást kapjuk, amit az előbb is.