1. Legyen Andrásnál A, Balázsnál B darab kavics, ekkor a kavicsok szorzata A*B. Ha Balázs átad 10 kavicsot, akkor neki B-10, Andrásnak A+10 kavicsa lesz, ezek szorzata (B-10)*(A+10), ez 150-nel kevesebb a fenti szorzatnál, így ha ehhez hozzáadunk 150-et, akkor egyenlőséget kapunk:

(B-10)*(A+10)+150 = A*B

Hasonló gondolatmenettel:

3*(B-20)*(A+20) = A*B

A két egyenlet egyenletrendszert alkot, így eszerint meg lehet oldani. Bontsuk ki az első egyenletet:

A*B+10B-10A-100+150 = A*B, szerencsére kiesik A*B
10B-10A+50=0, ebből rendezés után B=A-5 eredményt kapjuk.

Innen már sikerülni fog befejezni?

3a) Az intervallumon 21 egész szám van, így az összes eset: 21*21=441.
Kedvező eset: ha az egyenes áthalad a (2;6) ponton, akkor x=2 és y=6, így:
6=2a+b, erre 6-2a=b egyenletet kapjuk. Tudjuk, hogy -10≤a∈Z≤10 és -10≤b∈Z≤10, ezért a b-re vonatkozó egyenlőtlenségnek is teljesülnie kell, vagyis:
-10≤6-2a≤10, erre 8≥a≥-2, ez a megkötés szerencsére egy-az-egyben benne van a [-10;10] intervallumban, így a tényleges kikötés ez az egyenlőtlenség lesz. Az egyenlőtlenségben 11 egész szám található, és ahogy kiválasztjuk a értékét, úgy egyből kiválasztjuk b értékét is (lévén 6-2a=b), ezért összesen 11 olyan számpáros van, ami eleget tesz az eredeti kitételnek. Innen a valószínűség 11/441.

6a). Itt a kulcs az, hogy ha a kör középpontját összekötöd a háromszög csúcsaival, akkor a háromszöget 3 darab egyenlő szárú háromszögre osztod, ahol a szárak az újonnan behúzott szakaszok. Ezek közül két háromszögben ki tudod számolni a szárszöget, és ha ezek megvannak, akkor a harmadikban lévő szárszöget is megtudod (kivonod az előbbieket 360°-ból). Innen már a harmadik oldalt is ki tudod számolni.

b) Itt nem kell mást használni, csak a koszinunsztételt, legalábbis a legrövidebb megoldás ez.