A kör egyenlete: (x+5)² + (y-3)² = 81

Az egyik "x tengely pozitív irányával 45° -os szöget bezáró" egyenes egy nevezetes egyenes, mégpedig az y=x egyenletű egyenes, illetve az ezzel párhuzamos egyenesek is ezt tudják, tehát az egyenes egyenletét y=x+b alakban keressük, ahol b valós szám (paraméter). (Ennek ismerete nélkül is megadható az α szögű egyenes egyenlete, ha esetleg nem megy, azt külön leírom.) Innen több irányba is el lehet indulni;

1. megoldás: ha az egyenes érinti a kört, akkor van metszéspontjuk, metszéspontot pedig úgy szokás számolni, hogy a két egyenletet egyenletrendszerbe foglaljuk:

(x+5)² + (y-3)² = 81 }
y=x+b }, a másodikban ismert y "értéke", így azt írjuk be az első egyenletbe:

(x+5)² + (x+b-3)² = 81, ez pedig egy másodfokú paraméteres egyenlet, amit meg tudunk oldani. Az a jó nekünk, hogyha pontosan 1 metszéspont van, az pedig akkor van, hogyha ennek a másodfokú egyenletnek pontosan 1 megoldása van, azt pedig a tanultak alapján tudjuk, hogy ez akkor van, hogyha a diszkrimináns (a megoldóképletben a gyökjel alatti rész) értéke 0. Nem nehéz kitalálni, hogy egyébként a körnek két párhuzamos érintője van, emiatt b-re két értéket fogunk kapni. Az a b lesz a jó, amelyik az utolsó kitételt teljesíti, vagyis hogy az x-tengely alatt érinti a kört.

2. megoldás: tudjuk, hogy a kör sugara merőleges az érintőre, tehát azt is megcsinálhatjuk, hogy felírjuk annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges az érintőre, és átmegy a kör középpontján. Mivel speciális egyenesről van szó, itt könnyebb dolgunk van; tudjuk, hogy az y=x egyenletű egyenesre az y=-x egyenletű egyenes lesz merőleges, illetve ennek eltoltjai, tehát az egyenes egyenletét y=-x+c alakban keressük, ahol c szintén paraméter (remélem azt nem kell taglalnom, hogy a különböző eltolások esetén a merőlegesség megmarad, tehát az y=-x+c egyenletű egyenes olyannyira merőleges lesz az y=x+b alakú egyenesre, mint az y=-x egyenletű). Az egyenes átmegy a kör középpontján, ezért annak koordinátáit írjuk be az egyenes egyenletébe:

3=-(-5)+c, ennek megoldása -2=c, tehát a kör középpontján az y=-x-2 egyenletű egyenes fog átmenni. Mivel ez az egyenes ráfekszik az érintőre merőleges sugárra, ezért most ennek az egyenesnek és a körnek a metszéspontja kell:

(x+5)² + (y-3)² = 81 }
y=-x-2 }. ez az egyenletrendszer annyiban egyszerűbb, hogy nem tartalmaz paramétert és nem kell egyéb kritériumokat vizsgálni, csak meg kell oldani. Természetesen itt is két metszéspontot fogunk kapni, de csak az egyik pont lesz megoldása a feladatnak. Az érintő egyenletét ugyanazzal a módszerrel kapjuk meg, mint ahogyan meghatároztuk a kör középpontján áthaladó egyenes egyenletét.

Természetesen ezeken kívül is található még megoldási mód, például vektorokkal is számolható.

A két tengely közé eső szakasz két végpontját úgy kapod meg, hogyha az érintő egyenes egyenletébe egyszer x helyére írsz 0-t, ekkor az y-tengely metszéspontját kapod meg (tehát (0;valami) lesz a metszéspont), a másikhoz y helyére írod be a 0-t (ekkor az x-tengely metszéspontja (valami;0) lesz). A két pont távolságát egy egyszerű Pitagorasz-tétellel ki lehet számolni, de a távolságképlettel is lehet számolni.