Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika
midmata
kérdése
3683
a; Hány olyan 2 jegyű egész szám van, amelyik 3-mal, 5-tel és 7-tel sem osztható?
b; Egy kocka lapjait megsorszámozzuk 1-től 6-ig úgy, hogy a szemközti oldalakon a számok összege mindig ugyanannyi. Elérhető-e, hogy minden csúcsra, a rá illeszkedő lapok sorszámainak összegét kiszámítva, a kapott érték azonos legyen?
c; Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyik az összes élet érinti, ha a kocka éle 5 cm? Mekkora annak a gömbnek a térfogata, amelyik minden csúcsra illeszkedik?
b; Egy kocka lapjait megsorszámozzuk 1-től 6-ig úgy, hogy a szemközti oldalakon a számok összege mindig ugyanannyi. Elérhető-e, hogy minden csúcsra, a rá illeszkedő lapok sorszámainak összegét kiszámítva, a kapott érték azonos legyen?
c; Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyik az összes élet érinti, ha a kocka éle 5 cm? Mekkora annak a gömbnek a térfogata, amelyik minden csúcsra illeszkedik?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
a) Ha nagyon nincs ötleted, akkor írd fel az összes 3-mal, 5-tel és 7-tel osztható számot:
3-mal: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99
5-tel: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
7-tel: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98
Ezek közül mindegyiket pontosan 1-szer kiválasztod, és azok számát kivonod 90-ből, ugyanis ennyi kétjegyű szám van.
Hosszabb megoldás; kiszámolod, hogy hány darab 3-mal, 5-tel és 7-tel osztható kétjegyű szám van, ezt meg tudod tenni például a számtani sorozatnál tanultak szerint. Igen ám, csak ezzel a módszerrel kétszer számoljuk meg azokat, amelyek kettővel oszthatóak, vagyis 15-tel, 21-gyel és 35-tel, ezeket az összeszedett számok számosságából le kell vonnunk. Azokat a számokat viszont, amelyek mindhárommal oszthatóak, az első körben 3-szor számoltuk meg, a másodikban 3-szor vontuk le, tehát 1-szer újra meg kell számolnunk; ezek a 3*5*7=105-tel osztható számok. Szerencsére ezekből 0 darab kétjegyű, így ez a számítás csak formalitás. Az eredményt itt is 90-ből levonjuk, és ennyien nem oszthatóak a fenti számok egyikével sem.
b) 1-től 6-ig a számok összege 21, ha ebből 3 párt állítunk, akkor a párok összege 7 lesz, tehát ezek lesznek szomszédosak: 1-6, 2-5, 3-4 (a hagyományos dobókockán is így szerepelnek a számok). A kocka oldalai négyzetek, vagyis minden lapjának 4 csúcsa van. Ez azt jelenti, hogy minden szám 4 összegben fog szerepelni, és ha ezeket az összegeket összeadjuk, akkor 4*(1+2+3+4+5+6)=4*21=84-et kapunk. A kockának 8 csúcsa van, ezért ezt az összeget el kell osztanunk köztük egyenlően, így minden csúcsra 10,5 jut összegnek, ami azonban egész számok összege nem lehet, tehát a feladatban kértet nem lehet teljesíteni.
c) Ha félbevágjuk a kockát a gömbbel együtt két oldallapjával párhuzamosan, akkor a vágás helyén egy négyzetet látunk a köréírt körével együtt. A négyzet oldalai 5 cm hosszúak, a kör átmérője a négyzet átlója, ami egyben a gömb átmérője is. Innen már nem nehéz kiszámolni.
Ha a csúcsokat érinti, akkor az egyik lap átlója mentén vágunk, és a vágás helyén egy téglalap keletkezik a köréírt körével. A téglalap egyik oldala a kocka éle, vagyis 5 cm, a másik az oldallap átlója, amit már fent kiszámoltál, a kör átmérője itt is a téglalap átlója lesz, ami egyben itt is a gömb átmérője.
3-mal: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99
5-tel: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
7-tel: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98
Ezek közül mindegyiket pontosan 1-szer kiválasztod, és azok számát kivonod 90-ből, ugyanis ennyi kétjegyű szám van.
Hosszabb megoldás; kiszámolod, hogy hány darab 3-mal, 5-tel és 7-tel osztható kétjegyű szám van, ezt meg tudod tenni például a számtani sorozatnál tanultak szerint. Igen ám, csak ezzel a módszerrel kétszer számoljuk meg azokat, amelyek kettővel oszthatóak, vagyis 15-tel, 21-gyel és 35-tel, ezeket az összeszedett számok számosságából le kell vonnunk. Azokat a számokat viszont, amelyek mindhárommal oszthatóak, az első körben 3-szor számoltuk meg, a másodikban 3-szor vontuk le, tehát 1-szer újra meg kell számolnunk; ezek a 3*5*7=105-tel osztható számok. Szerencsére ezekből 0 darab kétjegyű, így ez a számítás csak formalitás. Az eredményt itt is 90-ből levonjuk, és ennyien nem oszthatóak a fenti számok egyikével sem.
b) 1-től 6-ig a számok összege 21, ha ebből 3 párt állítunk, akkor a párok összege 7 lesz, tehát ezek lesznek szomszédosak: 1-6, 2-5, 3-4 (a hagyományos dobókockán is így szerepelnek a számok). A kocka oldalai négyzetek, vagyis minden lapjának 4 csúcsa van. Ez azt jelenti, hogy minden szám 4 összegben fog szerepelni, és ha ezeket az összegeket összeadjuk, akkor 4*(1+2+3+4+5+6)=4*21=84-et kapunk. A kockának 8 csúcsa van, ezért ezt az összeget el kell osztanunk köztük egyenlően, így minden csúcsra 10,5 jut összegnek, ami azonban egész számok összege nem lehet, tehát a feladatban kértet nem lehet teljesíteni.
c) Ha félbevágjuk a kockát a gömbbel együtt két oldallapjával párhuzamosan, akkor a vágás helyén egy négyzetet látunk a köréírt körével együtt. A négyzet oldalai 5 cm hosszúak, a kör átmérője a négyzet átlója, ami egyben a gömb átmérője is. Innen már nem nehéz kiszámolni.
Ha a csúcsokat érinti, akkor az egyik lap átlója mentén vágunk, és a vágás helyén egy téglalap keletkezik a köréírt körével. A téglalap egyik oldala a kocka éle, vagyis 5 cm, a másik az oldallap átlója, amit már fent kiszámoltál, a kör átmérője itt is a téglalap átlója lesz, ami egyben itt is a gömb átmérője.
0
- Még nem érkezett komment!