Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Diagonalizálás

417
"Ha az n dimenziós lineáris tér egy A mátrix-szal megadott lineáris transzformációjának n lineárisan független sajátvektora van, akkor ezeket választva bázisnak, a transzformáció mátrixa diagonális mátrixként adódik" Az utolsó része nem világos, mert a következő feladatnál kipróbáltam és nem működött...(csatoltam a képen)...mit rontok el? vagy mit értelmezek félre?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, lineáris, algebra, diagonalizálás, spektrál, ortonormált, ortogonális, sajátérték, sajátvektor, bázis
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A transzformációs mátrix oszlopvektorait raktad át az új bázisba, de nem azt kell csinálni.
Ha `A` a transzformáció és az új bázis a `(v_1 \ v_2)`, akkor az `A·v_1` és `A·v_2` vektorokat kell az új bázisba transzformálni. Mivel ezek sajátvektorok:
`A·v_1=λ_1·v_1=((1),(1))`
`A·v_2=λ_2·v_2=((-4),(-2))`
Vagyis ez a bázistranszformáció kiinduló táblázata:

`{:(v_1,v_2,|,,),(-,-,-,-,-),(1,2,|,1,-4),(1,1,|,1,-2):}`

Ha végigcsinálod, `((1,0),(0,-2))` jön ki belőle.

----------------

Egyébként bázistrafó táblázat nélkül is kijön teljesen általánosan. Csak 2 dimenzióra mutatom, de általánosan is ugyanígy megy:

A transzformációs mátrix az eredeti bázisban `A`
Az `A` mátrix sajátértékei `λ_1` és `λ_2`, a sajátvektorok pedig `v_1` és `v_2`.
Ezek adják az új bázisvektorokat, ebben a bázisban a transzformáció mátrixa `B`.

Mondjuk legyen egy `v` vektor az új bázisban `((a),(b))`, ami az eredeti bázisban `v=a·v_1+b·v_2`
`A·v` ugyanaz a vektor, mint `B·((a),(b))`, csak persze más bázisban kifejezve.
Mivel `v_1` és `v_2` sajátvektorok, ezért:
`A·v=A·a·v_1+A·b·v_2=a·λ_1·v_1+b·λ_2·v_2`
amiből könnyen leolvasható, hogy ez a vektor az új bázisban az `((a·λ_1),(b·λ_2))` vektor.
Vagyis az új bázisban számolva:
`B·((a),(b))=((a·λ_1),(b·λ_2))`
ami egyértelmű, hogy ezzel a mátrixszal teljesül:
`B=((λ_1,0),(0,λ_2))`
1