Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Diagonalizálás
kapesmate
kérdése
417
"Ha az n dimenziós lineáris tér egy A mátrix-szal megadott lineáris transzformációjának n lineárisan független sajátvektora van, akkor ezeket választva bázisnak, a transzformáció mátrixa diagonális mátrixként adódik" Az utolsó része nem világos, mert a következő feladatnál kipróbáltam és nem működött...(csatoltam a képen)...mit rontok el? vagy mit értelmezek félre?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, lineáris, algebra, diagonalizálás, spektrál, ortonormált, ortogonális, sajátérték, sajátvektor, bázis
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo{ }
megoldása
A transzformációs mátrix oszlopvektorait raktad át az új bázisba, de nem azt kell csinálni.
Ha `A` a transzformáció és az új bázis a `(v_1 \ v_2)`, akkor az `A·v_1` és `A·v_2` vektorokat kell az új bázisba transzformálni. Mivel ezek sajátvektorok:
`A·v_1=λ_1·v_1=((1),(1))`
`A·v_2=λ_2·v_2=((-4),(-2))`
Vagyis ez a bázistranszformáció kiinduló táblázata:
Egyébként bázistrafó táblázat nélkül is kijön teljesen általánosan. Csak 2 dimenzióra mutatom, de általánosan is ugyanígy megy:
A transzformációs mátrix az eredeti bázisban `A`
Az `A` mátrix sajátértékei `λ_1` és `λ_2`, a sajátvektorok pedig `v_1` és `v_2`.
Ezek adják az új bázisvektorokat, ebben a bázisban a transzformáció mátrixa `B`.
Mondjuk legyen egy `v` vektor az új bázisban `((a),(b))`, ami az eredeti bázisban `v=a·v_1+b·v_2`
`A·v` ugyanaz a vektor, mint `B·((a),(b))`, csak persze más bázisban kifejezve.
Mivel `v_1` és `v_2` sajátvektorok, ezért:
`A·v=A·a·v_1+A·b·v_2=a·λ_1·v_1+b·λ_2·v_2`
amiből könnyen leolvasható, hogy ez a vektor az új bázisban az `((a·λ_1),(b·λ_2))` vektor.
Vagyis az új bázisban számolva:
`B·((a),(b))=((a·λ_1),(b·λ_2))`
ami egyértelmű, hogy ezzel a mátrixszal teljesül:
`B=((λ_1,0),(0,λ_2))`