Kör egyenlet

Legyen a kör köéppontja C(c₁;c₂), ekkor felírjuk annak a körnek az egyenletét, amelynek ez a középpontja és átmegy a P ponton:

(8-c₁)² + (6-c₂)² = r²

Mivel érinti az y-tengelyt, ezért azt kell megnézni, hogy a C pont milyen távol van az y-tengelytől; kiindulva abból, hogy a P pont 8 egységre van (a pontot úgy ábrázoljuk, hogy az origóból 8-at jobbra és 6-ot felfelé lépünk, tehát 8 egység távolságra van az y-tengelytől és 6-ra az x-tengelytől), viszont ugyanez az állítás igaz azokra a pontokra is, ahol az első koordináta -8 (például a T(-8;3) pontot úgy ábrázoljuk, hogy az origóból 8-at lépünk balra, ettől még az y-tengelytől vett távolság 8 lesz), ezért a C pont távolsága |c₁|, ez lesz a kör sugara is:

(8-c₁)² + (6-c₂)² = |c₁|², de azt is tudjuk, hogy |c₁|²=c₁², ezért elhagyható az abszolutérték:

(8-c₁)² + (6-c₂)² = c₁², tehát ilyen alakban keressük a kör egyenletét.

Az adott kör középpontja K(2;-2), sugara 10 egység. Azt érdemes tudni, hogy két kör akkor érinti egymást, hogyha a középpontok távolsága a sugarak összege (ekkor kívülről érintik egymást), vagy pedig a sugarak különbsége (ekkor belülről). Nézzük az első esetet;

1. Ha kívülről érintik egymást a körök, akkor a középpontok távolsága 10+c₁, viszont a távolságképletből √ (2-c₁)²+(-2-c₂)² , tehát ezek egyenlőek:

√ (2-c₁)²+(-2-c₂)²  = 10+c₁, viszont a fent leírt egyenletnek is teljesülnie kell:
(8-c₁)² + (6-c₂)² = c₁², így ezek egyenletrendszert alkotnak. Ez az egyenletrendszer, ha egyszerűen/röviden nem is, de megoldható. Megoldása: c₁=20 és c₂=22.

2. Szerencsére sokat nem fog változni az egyenletrendszer:

√ (2-c₁)²+(-2-c₂)²  = 10-c₁, és
(8-c₁)² + (6-c₂)² = c₁², ennek az egyenletrendszernek a megoldása: c₁=5 és c₂=2

Így már minden adott, hogy megadd a körök egyenletét.