Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kör egyenlet
Szász Ágnes
kérdése
457
Adott az x²+y²-2x-25=0 egyenletű kör két pontja: A(-4;-1) és B(6;1), a kör AC és BC húrjai hosszának az aránya 3 : 2. Határozzuk meg a C pont koordinátáit.
Valaki segítene a feladat megoldásában?
Valaki segítene a feladat megoldásában?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
bongolo
{ 
}
megoldása
Legyen a C pont koordinátája `(x;y)`
Erre egyrészt teljesül a kör egyenlete, hisz rajta van a körön, vagyis tudjuk ezt róluk:
(1) `x^2+y^2-2x-25=0`
Másrészt az AC illetve BC távolságokat Pitagorasszal fel tudjuk írni:
`bar(AC)^2=(C_x-A_x)^2+(C_y-A_y)^2`
vagyis `bar(AC)^2=(x+4)^2+(y+1)^2`
és
`bar(BC)^2=(C_x-B_x)^2+(C_y-B_y)^2`
vagyis `bar(BC)^2=(x-6)^2+(y-1)^2`
A másik dolog, amit tudunk x és y-ról, ezen hosszaknak az aránya:
`bar(AC)/bar(BC)=3/2`
`bar(AC)^2/bar(BC)^2=3^2/2^2`
`4·bar(AC)^2=9·bar(BC)^2`
(2) `4·((x+4)^2+(y+1)^2)=9·((x-6)^2+(y-1)^2)`
Van tehát az (1) és (2) egyenletünk, oldd meg ezt az egyenletrendszert. Ugye megy? Ha nem, szólj, meddig jutottál és hol akadtál el.
Erre egyrészt teljesül a kör egyenlete, hisz rajta van a körön, vagyis tudjuk ezt róluk:
(1) `x^2+y^2-2x-25=0`
Másrészt az AC illetve BC távolságokat Pitagorasszal fel tudjuk írni:
`bar(AC)^2=(C_x-A_x)^2+(C_y-A_y)^2`
vagyis `bar(AC)^2=(x+4)^2+(y+1)^2`
és
`bar(BC)^2=(C_x-B_x)^2+(C_y-B_y)^2`
vagyis `bar(BC)^2=(x-6)^2+(y-1)^2`
A másik dolog, amit tudunk x és y-ról, ezen hosszaknak az aránya:
`bar(AC)/bar(BC)=3/2`
`bar(AC)^2/bar(BC)^2=3^2/2^2`
`4·bar(AC)^2=9·bar(BC)^2`
(2) `4·((x+4)^2+(y+1)^2)=9·((x-6)^2+(y-1)^2)`
Van tehát az (1) és (2) egyenletünk, oldd meg ezt az egyenletrendszert. Ugye megy? Ha nem, szólj, meddig jutottál és hol akadtál el.
0
- Még nem érkezett komment!
Szász Ágnes
válasza
Sajnos elakadtam. A (2)-es egyenletrendszert kibontogattam, elrendeztem, és megkaptam azt, hogy -5x²-5y²+150x+26y+388=0. Nem tudom, hogy ebből hogyan tudnék továbblépni, mivel egy egyenleten belül van 4 ismeretlenem is.
0
-
bongolo: Két egyenleted van. Az (1)-ből kifejezed x²+y²-et és beírod a (2)-be, kiesnek a másodfokúak, marad elsőfokú csak. stb. Mindjárt írok egy új választ, kifejtem részletesebben... 6 éve 0
bongolo
{ }
válasza
(2)-ből az jön ki, ha kifejted a négyzeteket, hogy:
`-5 x^2 + 140 x - 5 y^2 + 26 y - 265 = 0`
(kicsit elszámoltad, neked nem ugyanaz jött ki.)
Van két egyenleted, mert ott van az (1) is, és 2 ismeretlened, ez elegendő kell legyen. Viszont másodfokú tagok is vannak bennük, ami erősen nehezíti a megoldást.
Viszont ha étrendezzük ezt a fenti egyenletet, észre lehet venni egy érdekességet:
(3) `-5(x^2+y^2) + 140 x + 26 y - 265 = 0`
vagyis ebben is a négyzetes tagok `x^2+y^2` alakban vannak, meg az (1) egyenletben is. Az (1)-ből ki lehet ezt fejezni:
(4) `x^2+y^2=2x+25`
és ezt be lehet helyettesíteni (3)-ba:
`-5(2x+25) + 140 x + 26 y - 265 = 0`
`-10x-125 + 140 x + 26 y - 265 = 0`
`130x+26y-390=0`
Lehet osztani 26-tal:
`5x+y-15=0`
(5) `y=15-5x`
Ezt pedig be lehet helyettesíteni bármelyik másik egyenletbe, mondjuk (4)-be:
`x^2+(15-5x)^2=2x+25`
`x^2+25x^2-150x+225=2x+25`
`26x^2-152x+200=0`
`13x^2-76x+100=0`
A megoldóképlettel:
`x=(76+-sqrt(76^2-4·13·100))/(2·13)`
`x=(76+-sqrt(576))/(26)`
`x=(76+-24)/(26)`
`x_1=(100)/(26)=(50)/(13)`
`x_2=(52)/(26)=2`
Mindkettővel számold ki y értékét is az (5) egyenlettel, azt már nem csinálom meg, fejezd be.
`-5 x^2 + 140 x - 5 y^2 + 26 y - 265 = 0`
(kicsit elszámoltad, neked nem ugyanaz jött ki.)
Van két egyenleted, mert ott van az (1) is, és 2 ismeretlened, ez elegendő kell legyen. Viszont másodfokú tagok is vannak bennük, ami erősen nehezíti a megoldást.
Viszont ha étrendezzük ezt a fenti egyenletet, észre lehet venni egy érdekességet:
(3) `-5(x^2+y^2) + 140 x + 26 y - 265 = 0`
vagyis ebben is a négyzetes tagok `x^2+y^2` alakban vannak, meg az (1) egyenletben is. Az (1)-ből ki lehet ezt fejezni:
(4) `x^2+y^2=2x+25`
és ezt be lehet helyettesíteni (3)-ba:
`-5(2x+25) + 140 x + 26 y - 265 = 0`
`-10x-125 + 140 x + 26 y - 265 = 0`
`130x+26y-390=0`
Lehet osztani 26-tal:
`5x+y-15=0`
(5) `y=15-5x`
Ezt pedig be lehet helyettesíteni bármelyik másik egyenletbe, mondjuk (4)-be:
`x^2+(15-5x)^2=2x+25`
`x^2+25x^2-150x+225=2x+25`
`26x^2-152x+200=0`
`13x^2-76x+100=0`
A megoldóképlettel:
`x=(76+-sqrt(76^2-4·13·100))/(2·13)`
`x=(76+-sqrt(576))/(26)`
`x=(76+-24)/(26)`
`x_1=(100)/(26)=(50)/(13)`
`x_2=(52)/(26)=2`
Mindkettővel számold ki y értékét is az (5) egyenlettel, azt már nem csinálom meg, fejezd be.
0
-
Szász Ágnes: Köszönöm! 6 éve 0