Először a kör egyenletét kell "szokásos" alakra hozni. Vagyis ilyenre:
`(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2`
(Ezt úgy tanultátok, hogy teljes négyzetté alakítás.)
Átrendezem az eredeti egyenletet, hogy egymás mellett legyenek az x-ek is meg az y-ok is:
`x^2+6x\ \ \ +\ \ \ y^2+2y \ \ \ - \ \ \ 1=0`
Az x-ek ehhez a négyzethez hasonlítanak: `(x+3)^2`, hisz annak is az első 2 tagja ugyanaz. Van mellette egy harmadik is, de az nem baj, majd kezdünk vele valamit.
Az y-ok pedig ehhez hasonlítanak: `(y+1)^2`
Hogy lehet ezekre rájönni? Be kell magolni az `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` azonosságot, és visszafelé is rá kell ismerni, hogy valami hasonlót látunk. Ha mondjuk `x^2+ax` látszik, akkor az ennek az elejére hasonlít: `(x+a/2)^2`, vagyis az elsőfokú tag felét kell venni. Most is ez volt az x-nél és y-nál is.

Írjuk fel tehát a megtippelt négyzeteket és fejtsük ki:
`(x+3)^2=2^2+6x+9` vagyis 9-cel több, mint kellene
`(y+1)^2=y^2+2y+1` ez meg 1-gyel több.
Amikkel több, azokat levonva pont jót kapunk, tehát `(x+3)^2-9` valamint `(y+1)^2-1`. Ezeket beírhatjuk a kör egyenletébe:
Megismétlem az eredeti egyenletet, hogy jobban lásd, hová írom be ezeket:
`x^2+6x\ \ \ +\ \ \ y^2+2y \ \ \ - \ \ \ 1=0`
`(x+3)^2-9\ \ \ +\ \ \ (y+1)^2-1 \ \ \ - \ \ \ 1=0`
`(x+3)^2\ \ \ +\ \ \ (y+1)^2 \ \ \ - \ \ \ 11=0`
`(x+3)^2+(y+1)^2=11`
`(x+3)^2+(y+1)^2=sqrt(11)^2`

Erről már le tudjuk olvasni a kör dolgait:
`x_0=-3, y_0=-1, r=sqrt(11)`

Most tehát a `(-3; -1)` ponttal koncentrikus kört keresünk, most még ismeretlen `r` sugárral. (A koncentrikus annyit jelent, hogy ugyanaz a két kör középpontja.)

Az x tengelytől a kör középpontja 1 távolságra van (amennyi az y koordinátája), az y tengelytől meg 3 távolságra. Szerintem rajzolj is fel egy koordináta rendszert és rajzold bele ezt a középpontot. Rajzolj bele egy kört is, ami átmegy az origón, ez lesz a legnagyobb területű négyszög (valójában már csak háromszög), amikor a tengely metszéspontjai ugyanazon az oldalon vannak.

Hmm, szerintem érdemes egy Geogebra ábrát csinálni hozzá, hogy lásd, mi is történik a négyszöggel. Mindjárt megcsinálom, aztán folytatom...
Itt van: https://ggbm.at/UzK7ZSdG

A tengelymetszetek az `X_1, X_2` valamint `Y_1, Y_2` pontok.
Ha olyan kicsi a kör, hogy éppen átmegy az origón (mozgasd a K pontot, amíg olyan nem lesz), akkor tehát nem négyszögünk van, hanem csak háromszögünk. A háromszög oldalai 6 és 4 egység hosszúak, hisz a kör középpontjától balra-jobbra ugyanolyan távolságra vannak az `X_1` és `X_2` pontok, vagyis amikor `X_2` az origó, akkor balra is 3 távolságnyira lesz `X_1`. Ugyanígy gondold meg az `Y_1` pontot is: -2 lesz.
Szóval a háromszög területe `(6·2)/2`, ami jóval kisebb a kért `8·sqrt(15)`-től, vagyis nagyobb kör kell. Mozgasd odébb a K pontot. Ilyenek lesznek a pontok:
`X_1 < 0`
`X_2 > 0`
`Y_1 < 0`
`Y_2 > 0`

A négyszöget a tengelyek 4 háromszögre osztják, úgyhogy a területét megkapjuk, ha összeadjuk a 4 háromszög területét. De még egyszerűbb, ha csak két háromszögre bontjuk mondjuk az X tengellyel: az `bar(X_1X_2)` átló hossza szorozva a magassággal (ami egyrészt `Y_2`, másrészt `|Y_1|`) és osztva kettővel kijön a terület. És ezt még tovább egyszerűsíthetjük, ugye látod: valójában az átlók hosszait kell összeszorozni és osztani kettővel.

(A negatív koordinátákat abszolút értékbe raktam, hisz a hosszuk kell.)
`8·sqrt(15)=((|X_1|+X_2)(|Y_1|+Y_2))/2`

Nevezzük el az átlók hosszát: `bar(X_1X_2)=e` és `bar(Y_1Y_2)=f`
`8·sqrt(15)=(e·f)/2`

Az átlók felére Pitagorasszal felírható ez: (nézd az ábrát, ugye látod a Pitagoraszokat?)
`(e/2)^2+1^2=r^2`
`(f/2)^2+3^2=r^2`
Vagyis:
`e=2·sqrt(r^2-1)`
`f=2·sqrt(r^2-9)`

`8·sqrt(15)=(2sqrt(r^2-1)·2sqrt(r^2-9))/2`
`4·sqrt(15)=sqrt(r^2-1)·sqrt(r^2-9)`
`16·15=(r^2-1)(r^2-9)`

Vezessük be ezt a jelölést: `x = r^2`
`16·15=(x-1)(x-9)`
`240=x^2-10x+9`
`x^2-10x-231=0`
`x=(10+-sqrt(100+4·231))/2`
Mivel `x=r^2` pozitív kell legyen, csak a plusz-os gyök lesz jó:
`r^2=(10+sqrt(100+4·231))/2`
`r^2=5+sqrt(25+231)=5+sqrt(256)=5+16=21`
`r=sqrt(21)`

Most már fel tudjuk írni a koncentrikus kör egyenletét, hisz tudjuk a középpontját is meg a sugarát is:
`(x+3)^2+(y+1)^2=sqrt(21)^2`