https://hu.wikipedia.org/wiki/Hat%C3%A1r%C3%A9rt%C3%A9k
Itt elég részletesen leírja. Ha ez nem elegendő akkor:

https://www.mateking.hu/analizis-1/fuggvenyek-hatarerteke-es-folytonossaga
vagy:

http://hirmagazin.sulinet.hu/hu/pedagogia/fuggvenyek-hatarerteke-es-folytonossaga

Nagyon egyszerű a válasz! Be kell helyettesítened az x-et, mindkettő oldalnál.

Nézzük az `f(x)=x/x` függvény határértékét 0-ban.
Nincs értelmezve 0-ban, de ez nem is fontos a határérték szempontjából. Ha x nem 0, akkor tudunk egyszerűsíteni x-szel, tehát mindenhol máshol 1 lesz az értéke. Ha balról közelítünk a 0-hoz, csupa 1 értékeken megyünk, triviális, hogy akármilyen közel vagyunk a 0-hoz, 1 lesz a függvényérték, tehát a bal oldali határérték 1.
Ha jobbról (pozitív x-ekkel) megyünk a 0 felé, akkor is mindig lesz a függvényérték,akármilyen közel is kerültünk a 0-hoz, tehát a jobb oldali határérték is 1.
Mivel a két oldali határérték megegyezik, ezért a határérték 1.

Most nézzük a `g(x)=1/x` függvény határértékét 0-ban.
Ez sincs értelmezve 0-ban, de nem számít.
Ha balról közelítünk 0-hoz, mindig negatív értékeket kapunk (mert negatívval osztjuk az 1-et), és egyre kisebbeket, a határérték `-oo`
Ha viszont jobbról közelítünk, csupa pozitív értékeket kapunk, egyre nagyobbakat, a határérték `+oo`
A két határérték nem egyforma, ezért nincs a `g(x)`-nek hatérértéke 0-ban.

Mi `g(x)` határértéke 1-ben?
Akár balról (x < 1), akár jobbról (x > 1) közeledünk 1-hez, a függvényértékek egyre jobban közelítenek `1/1=1`-hez. Tehát a bal és jobb oldali határérték is 1. Mivel megegyezik a kettő, ez a függvény határértéke is. (Ráadásul a határérték megegyezik a behelyettesítési értékkel is, tehát folytonos is a függvény, de ez most nem számít.)

Végül nézzük a te kérdésedet: az `a(x) =sgn\ x` határértéke 0-ban.
Az előjelfüggvény értéke (`a(x)`) 1 akkor, ha x > 0, -1 akkor, ha x < 0 és 0 akkor, ha x = 0. Vagyis mindenhol értelmezett a függvény.
Ha balról közelítünk 0-hoz, akármilyen közel is leszünk hozzá, mindig negatív mrad az x, tehát `a(x)=-1` lesz. Ezért a bal oldali határérték -1.
Hasonlóan a jobb oldali +1 (nem is részletezem).
Ez nem egyezik meg egymással, sem az `a(0)` behelyettesítési értékkel, de oda se neki. Ez csak annyit jelent, hogy nem folytonos a függvény 0-ban.

---------------------

A legtöbb esetben, amilyen becsapós példákat kétoldali határértékekre adnak, az a trükk szokott lenni, hogy szorzunk vagy osztunk valamivel, ami egyik oldalon pozitív, a másikon negatív, és ettől az egyik oldali határérték poitív lesz, a másik meg negatív. Ilyenekre figyelj majd.