Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Félkör
Isti888
kérdése
406
Az AB átmérőjű k1 félkörben felvesszük a BE átmérőjű k2 félkört, ahol E illeszkedik az AB szakaszra. Az A pontból érintőt húzunk a k2 körhöz, az érintési pont legyen D. Ez az érintő a k1 kört C pontban metszi.
Mekkora a CBA szög, ha a két félkör sugarának a szorzata egyenlő az AD és DC szakaszok szorzatával?
Mekkora a CBA szög, ha a két félkör sugarának a szorzata egyenlő az AD és DC szakaszok szorzatával?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
bongolo
{ 
}
válasza
Nem tudom még a levezetést, de ma éjszaka már nem gondolkodom rajta tovább.
Geogebrával megrajzolva az jön ki, hogy ha F a k₁ kör középpontja, akkor DF merőleges AB-re, a keresett CBA szög pedig 60°.
Persze ez még közel sem megoldás, csak sejtés...
Geogebrával megrajzolva az jön ki, hogy ha F a k₁ kör középpontja, akkor DF merőleges AB-re, a keresett CBA szög pedig 60°.
Persze ez még közel sem megoldás, csak sejtés...
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
Az előző ábra zsákutca volt, mást érdemes csinálni.
Egyszerűen húzd be a DG szakaszt, ami k₂ sugara. Ez merőleges az érintőre.
Aztán k₁ az AB szakasz Thalesz köre, tehát az ACB szög derékszög.
Így az ADG és ACB háromszögek hasonlóak.
Lásd a mellékelt ábrát.
Legyen az egyszerűség kedvéért k₁ sugara az egység, k₂ sugara r.
Így a sugarak szorzatára vonatkozó azonosság `1·r=a·b`
A két háromszög átfogói pedig:
`AB=2, AG=AB-GB=2-r`
Aztán fel lehet írni a két hasonló háromszögre az oldalak (befogó és átfogó) arányának azonosságát, ebből lesz az ábrán az (1) azonosság.
És fel lehet írni mondjuk az ADG háromszögre a Pitagorasz tételt, ebből jön a (2) azonosság.
Ebből a kettőből pedig kijön, hogy `r = 2/3`
Végül (1)-ből kijön az `a` szakasz hossza is: `a=(2sqrt3)/3`
Mivel a DGA szög is β, ennek tangense:
`"tg"\ β=a/r=sqrt3`
Ami azt jelenti, hogy `β=60°`
Egyszerűen húzd be a DG szakaszt, ami k₂ sugara. Ez merőleges az érintőre.
Aztán k₁ az AB szakasz Thalesz köre, tehát az ACB szög derékszög.
Így az ADG és ACB háromszögek hasonlóak.
Lásd a mellékelt ábrát.
Legyen az egyszerűség kedvéért k₁ sugara az egység, k₂ sugara r.
Így a sugarak szorzatára vonatkozó azonosság `1·r=a·b`
A két háromszög átfogói pedig:
`AB=2, AG=AB-GB=2-r`
Aztán fel lehet írni a két hasonló háromszögre az oldalak (befogó és átfogó) arányának azonosságát, ebből lesz az ábrán az (1) azonosság.
És fel lehet írni mondjuk az ADG háromszögre a Pitagorasz tételt, ebből jön a (2) azonosság.
Ebből a kettőből pedig kijön, hogy `r = 2/3`
Végül (1)-ből kijön az `a` szakasz hossza is: `a=(2sqrt3)/3`
Mivel a DGA szög is β, ennek tangense:
`"tg"\ β=a/r=sqrt3`
Ami azt jelenti, hogy `β=60°`
0
- Még nem érkezett komment!