Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Szögfelező
Isti888
kérdése
1207
Az ABC háromszögben az A csúcsnál levő szög nagyobb, mint a B csúcsnál levő szög. A CB oldalon úgy vesszük fel a D pontot, hogy DAC szög=CBA szög teljesüljön, és a D pontot az AB oldal felezőpontjával összekötő szakasz párhuzamos a C csúcshoz tartozó szögfelezővel.
Milyen arányban osztja ez a szögfelező az AB oldalt?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
válasza
Lásd az ábrát is...
Legyenek a háromszög oldalai szokás szerint a,b,c, szögei pedig α,β,γ
A c oldal felezőpontja F.
A γ szögfelezője a c oldalt a G pontban metszi. Ez a pont ossza a c oldalt p és q részekre. Kérdés p/q
Nevezzük a DC távolságot d-nek, az FG-t x-nek.
A szögfelezőtétel szerint `p/q=a/b`
A β szögtartományban DF párhuzamos CG-vel, a párhuzamos szelők tétele szerint: `d/a=x/p`
A DAC háromszögben a DAC szög ugyanakkora, mint az CBA szög: β.
A két háromszög C pontja és így γ szöge is közös. Ezért az ABC △ hasonló a DAC △-höz.
Így az oldalak arányai hasonlóak: `b/d=a/b` → `d=b^2/a`
Ezért `d/a=b^2/a^2 =q^2/p^2`
`x=p-c/2`
`d/a=x/p=(p-c/2)/p`
`q^2/p^2=(p-c/2)/p`
`q=c-p`
Az egyszerűség kedvéért legyen `c=1`, így `q=1-p`
`(1-p)^2/p^2=(p-1/2)/p`
`1-2p+p^2=p(p-1/2)=p^2-p/2`
`1=2p-p/2`
`p=2/3`
`q=1-p=1/3`
Tehát `p/q=2`
Legyenek a háromszög oldalai szokás szerint a,b,c, szögei pedig α,β,γ
A c oldal felezőpontja F.
A γ szögfelezője a c oldalt a G pontban metszi. Ez a pont ossza a c oldalt p és q részekre. Kérdés p/q
Nevezzük a DC távolságot d-nek, az FG-t x-nek.
A szögfelezőtétel szerint `p/q=a/b`
A β szögtartományban DF párhuzamos CG-vel, a párhuzamos szelők tétele szerint: `d/a=x/p`
A DAC háromszögben a DAC szög ugyanakkora, mint az CBA szög: β.
A két háromszög C pontja és így γ szöge is közös. Ezért az ABC △ hasonló a DAC △-höz.
Így az oldalak arányai hasonlóak: `b/d=a/b` → `d=b^2/a`
Ezért `d/a=b^2/a^2 =q^2/p^2`
`x=p-c/2`
`d/a=x/p=(p-c/2)/p`
`q^2/p^2=(p-c/2)/p`
`q=c-p`
Az egyszerűség kedvéért legyen `c=1`, így `q=1-p`
`(1-p)^2/p^2=(p-1/2)/p`
`1-2p+p^2=p(p-1/2)=p^2-p/2`
`1=2p-p/2`
`p=2/3`
`q=1-p=1/3`
Tehát `p/q=2`
Módosítva: 8 éve
0
- Még nem érkezett komment!