Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
B. Matek házi
simsonos2003
kérdése
768
Egy 2 n-es táblázat felső sorába beírjuk a pozitív egész számokat
1-től n-ig növekvő sorrendben, az alsó sorába pedig csökkenő sorrendben. Hány
olyan 50-nél kisebb n pozitív egész szám van, melyre minden felső sorban lévő
szám és az alatta lévő szám relatív prím?
1-től n-ig növekvő sorrendben, az alsó sorába pedig csökkenő sorrendben. Hány
olyan 50-nél kisebb n pozitív egész szám van, melyre minden felső sorban lévő
szám és az alatta lévő szám relatív prím?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Általános iskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Felül tehát az van, hogy 1 2 3 4 5 stb n-ig.
Alatta pedig visszafelé, az 1 alá került a legnagyobb, vagyis n.
1-gyel bármilyen szám relatív prím, tehát e szerint még n bármi lehet.
2 alá csak páratlan kerülhet. n-1 van ott, tehát n páros.
Nézzük az első néhányat (persze csak a párosakat):
n=2:
1 2
2 1, ez rendben van.
n=4:
1 2 3 4
4 3 2 1, ez is jó
n=6:
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1, ez is jó.
n=8:
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5 4 3 2 1 !!!! EZ NEM JÓ, mert 3 és 6 nem relatív prím.
3 alá az n-2 kerül, vagyis n-2 (ami páros) lehet 8, 10, de nem lehet 12, stb. Az n ezeknél 2-vel több, tehát ezek lehetnek még az n-ek a 3-mal oszthatóság szerint: 10,12, 16,18, 22,24, 28,30, 34,36, 40,42, 46,48 (de lehet, hogy ebből néhány még ki fog esni...)
Valójában úgy volt érdemes csinálni, hogy felírjuk a páros számokat, aztán minden harmadikat kihúzzuk 8-tól kezdve: (fölülhúzással tudom itt jelölni a kihúzottakat)
`2, 4, 6, bar8, 10, 12, bar(14), 16, 18, bar(20), 22, 24, bar(26), 28, 30, bar(32), 34, 36, bar(38), 40, 42, bar(44), 46, 48, bar(50)`
A 4 alá páratlan kerül, tehát az rendben van.
Az 5 alá n-4 kerül, az nem lehet 5 többszöröse. Nézzük meg a fenti számokat ebből a szempontból. pontosabban húzzuk ki minden ötödik számot valamitől kezdve. n-4=0 is osztható 5-tel, tehát elvileg 4-től kellene kezdeni, de az még jó, mert kisebb 5-nél. Szóval 4-től kezdve, azt meghagyva, de húzzuk ki minden ötödiket:
`2, 4, 6, bar8, 10, 12, bar(14), 16, 18, bar(20), 22, bar(24), bar(26), 28, 30, bar(32), bar(34), 36, bar(38), 40, 42, bar(44), 46, 48, bar(50)`
Csak a 24 és 34 lett most kihúzva, a többi már eddig is ki volt...
6 alá mi kerül: Ha a 3 alá nem 3-mal osztható került, akkor a 6 alá se, tehát 6-tal nem kell ellenőrizni semmit. Valójában amilyen számot eddig ellenőriztünk, annak a többszöröseit már nem kell ellenőrizni, mert minden annyiadikat már kihúztuk.
Vagyis csak a prímszámokat kell ellenőrizni!
7 alá n-6 kerül, az nem lehet 7 többszöröse. Vagyis 6-tól kezdve (az még jó, mert kisebb 7-nél) ki kell húzni minden hetediket:
`2, 4, 6, bar8, 10, 12, bar(14), 16, 18, bar(20), 22, bar(24), bar(26), 28, 30, bar(32), bar(34), 36, bar(38), 40, 42, bar(44), 46, bar(48), bar(50)`
Csak a 48 esett ki most.
11 alá n-10 kerül, nem lehet 11 többszöröse. Ki kell tehát húzni 10-től kezdve (azt nem!) minden 11-ediket. Nem esik ki most semmi új, nem is írom le újra.
13 alá n-12 kerül, nem lehet 13 többszöröse. Ki kell húzni 12-től kezdve (azt nem!) minden 13-adikat. Nem esik ki új.
17 alá n-16 kerül: 16-tól kezdve (azt nem!) ki kell húzni a 17-edikeket. Az 50 lenne az első, de már ki van húzva.
A többi prímet már nem is kell megnézni, mert biztos, hogy 50-nél több lenne az első szám, amit ki kellene húzni.
Vagyis ezek lehetnek a jó n-ek:
`2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46`
Alatta pedig visszafelé, az 1 alá került a legnagyobb, vagyis n.
1-gyel bármilyen szám relatív prím, tehát e szerint még n bármi lehet.
2 alá csak páratlan kerülhet. n-1 van ott, tehát n páros.
Nézzük az első néhányat (persze csak a párosakat):
n=2:
1 2
2 1, ez rendben van.
n=4:
1 2 3 4
4 3 2 1, ez is jó
n=6:
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1, ez is jó.
n=8:
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5 4 3 2 1 !!!! EZ NEM JÓ, mert 3 és 6 nem relatív prím.
3 alá az n-2 kerül, vagyis n-2 (ami páros) lehet 8, 10, de nem lehet 12, stb. Az n ezeknél 2-vel több, tehát ezek lehetnek még az n-ek a 3-mal oszthatóság szerint: 10,12, 16,18, 22,24, 28,30, 34,36, 40,42, 46,48 (de lehet, hogy ebből néhány még ki fog esni...)
Valójában úgy volt érdemes csinálni, hogy felírjuk a páros számokat, aztán minden harmadikat kihúzzuk 8-tól kezdve: (fölülhúzással tudom itt jelölni a kihúzottakat)
`2, 4, 6, bar8, 10, 12, bar(14), 16, 18, bar(20), 22, 24, bar(26), 28, 30, bar(32), 34, 36, bar(38), 40, 42, bar(44), 46, 48, bar(50)`
A 4 alá páratlan kerül, tehát az rendben van.
Az 5 alá n-4 kerül, az nem lehet 5 többszöröse. Nézzük meg a fenti számokat ebből a szempontból. pontosabban húzzuk ki minden ötödik számot valamitől kezdve. n-4=0 is osztható 5-tel, tehát elvileg 4-től kellene kezdeni, de az még jó, mert kisebb 5-nél. Szóval 4-től kezdve, azt meghagyva, de húzzuk ki minden ötödiket:
`2, 4, 6, bar8, 10, 12, bar(14), 16, 18, bar(20), 22, bar(24), bar(26), 28, 30, bar(32), bar(34), 36, bar(38), 40, 42, bar(44), 46, 48, bar(50)`
Csak a 24 és 34 lett most kihúzva, a többi már eddig is ki volt...
6 alá mi kerül: Ha a 3 alá nem 3-mal osztható került, akkor a 6 alá se, tehát 6-tal nem kell ellenőrizni semmit. Valójában amilyen számot eddig ellenőriztünk, annak a többszöröseit már nem kell ellenőrizni, mert minden annyiadikat már kihúztuk.
Vagyis csak a prímszámokat kell ellenőrizni!
7 alá n-6 kerül, az nem lehet 7 többszöröse. Vagyis 6-tól kezdve (az még jó, mert kisebb 7-nél) ki kell húzni minden hetediket:
`2, 4, 6, bar8, 10, 12, bar(14), 16, 18, bar(20), 22, bar(24), bar(26), 28, 30, bar(32), bar(34), 36, bar(38), 40, 42, bar(44), 46, bar(48), bar(50)`
Csak a 48 esett ki most.
11 alá n-10 kerül, nem lehet 11 többszöröse. Ki kell tehát húzni 10-től kezdve (azt nem!) minden 11-ediket. Nem esik ki most semmi új, nem is írom le újra.
13 alá n-12 kerül, nem lehet 13 többszöröse. Ki kell húzni 12-től kezdve (azt nem!) minden 13-adikat. Nem esik ki új.
17 alá n-16 kerül: 16-tól kezdve (azt nem!) ki kell húzni a 17-edikeket. Az 50 lenne az első, de már ki van húzva.
A többi prímet már nem is kell megnézni, mert biztos, hogy 50-nél több lenne az első szám, amit ki kellene húzni.
Vagyis ezek lehetnek a jó n-ek:
`2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46`
2
- Még nem érkezett komment!