Az a helyzet, hogy ez nem is igaz.
Pontosabban van, amikor igaz, és van, amikor nem. Bizonyára arra az esetre gondolt a feladat kiírója, amikor éppen igaz, és az általános iskolás szinten rendben is van, de középiskolás szinten a másik lehetőségre is gondolni kell.

Az első lehetőség:
Ha a két merőlegesen ugyanazon az oldalon vesszük fel a D és E pontokat (akár úgy, hogy mindkét pont a BC egyenestől az A csúcs felé menő irányban van, akár úgy, hogy az ellenkező irányban vannak), akkor igaz.
Ennek nagyon egyszerű a bizonyítása: Rajzold be a háromszög magasságvonalát, ami átmegy az A ponton. Ez az egyenes szimmetriatengelye a háromszögnek (mert szabályos háromszögről van szó), szimmetriatengelye a B-be és C-be állított két merőleges egyenesnek is (hisz párhuzamos mindkettővel és közöttük félúton van), valamint szimmetriatengelye a D és E pontoknak is, hisz BD = CE. Ebből következik, hogy az AD szakasz szimmetrikus képe az AE szakasz lesz, vagyis ez a két szakasz egyforma hosszú, tehát at ADE háromszög egyenlő szárú. Kész.

A másik lehetőség:
Fel lehet venni a D és E pontokat úgy is, hogy a B-re állított merőlegesen A irányában vesszük fel a D pontot, a C-re állított merőlegesen viszont ellenkező irányban. Ekkor nem lesz egyenlőszárú a háromszög. Ezt be lehet látni mondjuk úgy, hogy legyen a DB távolság `a·sqrt3/2`, ahol `a` a háromszög oldala. Magyarul párhuzamosat kell húzni BC-vel az A ponton át, és ahol metszi a B-be állított merőlegest, az legyen a D pont. Ahol metszi a C-be állított merőlegeset, az legyen az F pont, ennek a C-re vett tükörképe lesz az E pont. Így az E pont ugyanilyen távolságra, de az ellenkező irányban lesz a C-re állított merőlegesen.

Ekkor az ADE háromszög oldalai AD=`a/2`, AE > `a` (lásd az FAE háromszöget), és DE > AE (lásd az FDE háromszöget). Vagyis semelyik két oldala nem egyenlő hosszú.