Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Koordináta

567
A koordinátasíkon adottak az A(1,-4) és a B(-5,8) pontok, amelyben egy-egy katonai ellenőrző pont van. Két egység azt a pontot beszélte meg találkozásra, ami ezektől az ellenőrzőpontoktól egyenlő távolságra van, és rajta van a -2x+5y=3 egyenletű egyenes úton. Hol találkoznak és milyen távol van ez a pont az ellenőrzőpontoktól? (egy koordinátaegység = 150 m)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Szerintem:
Módosítva: 2 éve
0

Azok a pontok, amik egyforma távolságra vannak két ponttól, azok a szakasfelező merőlegesen vannak.
A szakasz felezőpontja a két végpont átlaga: `(((1)+(-5))/2; ((-4)+(8))/2) = (-2; 2)`
A szakasz irányvektora: B-ből vond ki A-t: `((-5) -(1); (8)-(-4))=(-6;12)`
Írjuk fel a szakaszfelező merőleges egyenletét. Egy egyenes egyenletét egy pontjával plusz a normálvektorával a legegyszerűbb felírni, és szerencsére a normálvektor már meg is van, hisz az AB irányvektor éppen a rá merőleges egyenes normálvektora.
Vagyis annak az egyenesnek az egyenlete, ami átmegy a `(-2;2)` ponton és normálvektora `(-6;12)`:
`(-6)x+(12)y=(-6)·(-2)+(12)·(2)`
(Ugye ismered ezt, hogy hogyan jött ez ki? Ha nem, akkor tanuld meg, ez nagyon fontos.)
`-6x+12y=12+24=36`
`-x+2y=6`

Ezen a szakaszfelező merőlegesen minden pont olyan, hogy egyforma távolságra van A-tól meg B-től. Az a pont pedig, ami rajta van ezen az egyenesen is meg az úton is (aminek egyenlete `-2x+5y=3`), az úgy jön ki, hogy megoldjuk az egyenletrendszert, amit a két egyenes egyenletéből alkotunk (hisz mindkét egyenesen rajta van a pont, mindkét egyenletnek igaznak kell lennie).
Tehát ez az egyenletrendszer:
`-x+2y=6`
`-2x+5y=3`
------------
Ezt többféleképpen is meg lehet oldani, mondjuk a legegyszerűbb most az, hogy az első egyenlet dupláját kivonjuk a másodikból, hisz ekkor kiesik az x kapásból:
`5y-4y=3-12`
`y=-9`
Aztán ezt behelyettesítjük az első egyenletbe:
`-x+(-18)=6`
`x=-24`

Tehát a metszéspont koordinátája `(-24; -9)`

Ennek a pontnak a távolsága az A ponttól Pitagorasszal jön ki: (ezt érted?)
`d^2=((1)-(-24))^2+((-4)-(-9))^2`
`d^2=(25)^2+(5)^2`
`d^2=650`
`d="25,495"` egység

Ez méterben `"25,495"·150=...` nem szorzom össze.
Módosítva: 2 éve
0