Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kamat
midmata
kérdése
1051
Bendi január elsején született, és szülei a születése óta (már a születésekor is) minden év elején 100 000 forintot tesznek a bankba 5%-os éves kamatra, amihez utána nem nyúlnak. Mennyi pénzt tud kivenni 18 éves korában Bendi (a 18. születésnapján már nem tesznek be pénzt)?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
Először írjuk fel általánosan; betesznek A forintot, erre q%-os kamat jön, tehát a tőke 1+(q/100)-szorosára fog nőni, ezt nevezzük el Q-nak. Ezek szerint:
-az első év után A*Q forint lesz a számlán
-a második év után: (A*Q+A)*Q = A*Q²+A*Q
-a harmadik év után: ((A*Q²+A*Q)+A)*Q =A*Q³+A*Q²+A*Q
-a negyedik év végén: ((A*Q³+A*Q²+A*Q)+A)*Q = A*Q⁴+A*Q³+A*Q²+A*Q
Nem nehéz ezek alapján kitalálni, hogy a 18. év végén
A*Q¹⁸+A*Q¹⁷+...+A*Q²+A*Q forint lesz a számlán. Ha kiemelünk A-t:
A*(Q¹⁸+Q¹⁷+...+Q²+Q) lesz. A zárójelen belül egy mértani sorozat látható, ahol az első tag Q, a hányados szintén Q, és 18 tagból áll, tehát ezek összege Q*(Q¹⁸-1)/(Q-1), tehát 18 év múlva A*Q*(Q¹⁸-1)/(Q-1) forint lesz a számlán, ahol A=100.000 forint, Q=1+(q/100)=1+(5/100)=1,05, tehát:
100.000*1,05*(1,05¹⁸-1)/(1,05-1)=~2.953.900 forintot tud felvenni 18. születésnapján.
-az első év után A*Q forint lesz a számlán
-a második év után: (A*Q+A)*Q = A*Q²+A*Q
-a harmadik év után: ((A*Q²+A*Q)+A)*Q =A*Q³+A*Q²+A*Q
-a negyedik év végén: ((A*Q³+A*Q²+A*Q)+A)*Q = A*Q⁴+A*Q³+A*Q²+A*Q
Nem nehéz ezek alapján kitalálni, hogy a 18. év végén
A*Q¹⁸+A*Q¹⁷+...+A*Q²+A*Q forint lesz a számlán. Ha kiemelünk A-t:
A*(Q¹⁸+Q¹⁷+...+Q²+Q) lesz. A zárójelen belül egy mértani sorozat látható, ahol az első tag Q, a hányados szintén Q, és 18 tagból áll, tehát ezek összege Q*(Q¹⁸-1)/(Q-1), tehát 18 év múlva A*Q*(Q¹⁸-1)/(Q-1) forint lesz a számlán, ahol A=100.000 forint, Q=1+(q/100)=1+(5/100)=1,05, tehát:
100.000*1,05*(1,05¹⁸-1)/(1,05-1)=~2.953.900 forintot tud felvenni 18. születésnapján.
0
- Még nem érkezett komment!