Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika
midmata
kérdése
526
Bendi január elsején született, és szülei a születése óta (már a születésekor is) minden év elején 100 000 forintot tesznek a bankba 5%-os éves kamatra, amihez utána nem nyúlnak. Mennyi pénzt tud kivenni 18 éves korában Bendi (a 18. születésnapján már nem tesznek be pénzt)?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Az 5%-os éves kamat azt jelenti, hogy 1 év múlva a kamatozó összegnek az 5%-a lesz a kamat, amit hozzáadnak a tovább kamatozó összeghez. Vagyis a kamatózó összeg az 1,05-szorosa lesz.
Születéskor van: 100 000
1 éves korában: 100 000·1,05 + 100 000
2 éves korában: (100 000·1,05 + 100 000)·1,05 + 100 000
3 éves korában: ((100 000·1,05 + 100 000)·1,05 + 100 000)·1,05 + 100 000
Ezt így lehetne tovább írni, de inkább szorozzuk be azokat az 1,05-öket:
3 éves korában tehát ennyi lett:
100 000·1,05³ + 100 000·1,05² + 100 000·1,05 + 100 000
= 100 000·(1,05³ + 1,05² + 1,05¹ + 1)
4 éves korában: 100 000·(1,05⁴ + 1,05³ + 1,05² + 1,05¹ + 1)
stb.
17 éves korában: 100 000·(1,05¹⁷ + 1,05¹⁶ + ... + 1,05² + 1,05¹ + 1)
18 éves korában ennek az 1,05-szorosa lesz, mert akkor már nem tesznek be megint pénzt:
100 000·(1,05¹⁸ + 1,05¹⁷ + ... + 1,05² + 1,05)
Ami a zárójelben van, az egy mértani sorozatnak az összege.
A sorozat ilyen:
`a₁ = "1,05"` (mert a hatvány nélküli tag ennyi)
`q = "1,05"` (mert mindegyik ennyiszerese a tőle jobbra lévőnek)
`n = 18` (mert összesen 18 szám van összeadva)
`S_n = a_1·(q^n-1)/(q-1) = "1,05"·("1,05"^(18)-1)/("1,05"-1)`
Az összes pénz ennek a 100 000-szerese. Számold ki.
Születéskor van: 100 000
1 éves korában: 100 000·1,05 + 100 000
2 éves korában: (100 000·1,05 + 100 000)·1,05 + 100 000
3 éves korában: ((100 000·1,05 + 100 000)·1,05 + 100 000)·1,05 + 100 000
Ezt így lehetne tovább írni, de inkább szorozzuk be azokat az 1,05-öket:
3 éves korában tehát ennyi lett:
100 000·1,05³ + 100 000·1,05² + 100 000·1,05 + 100 000
= 100 000·(1,05³ + 1,05² + 1,05¹ + 1)
4 éves korában: 100 000·(1,05⁴ + 1,05³ + 1,05² + 1,05¹ + 1)
stb.
17 éves korában: 100 000·(1,05¹⁷ + 1,05¹⁶ + ... + 1,05² + 1,05¹ + 1)
18 éves korában ennek az 1,05-szorosa lesz, mert akkor már nem tesznek be megint pénzt:
100 000·(1,05¹⁸ + 1,05¹⁷ + ... + 1,05² + 1,05)
Ami a zárójelben van, az egy mértani sorozatnak az összege.
A sorozat ilyen:
`a₁ = "1,05"` (mert a hatvány nélküli tag ennyi)
`q = "1,05"` (mert mindegyik ennyiszerese a tőle jobbra lévőnek)
`n = 18` (mert összesen 18 szám van összeadva)
`S_n = a_1·(q^n-1)/(q-1) = "1,05"·("1,05"^(18)-1)/("1,05"-1)`
Az összes pénz ennek a 100 000-szerese. Számold ki.
Módosítva: 6 éve
0
- Még nem érkezett komment!