Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Elsőrendű differenciálegyenlet
noxter-norxert1704
kérdése
440
Leginkább a szétválaszthatóakat, illetve a lineárisakat vettük eddig.
Elméletileg az előbbibe tartozik a következő diff. egyenlet:
y*(1+(x)^2)*y' + x*√ 1-(y)^2 = 0
nekem ez jön ki két integrálásnak:
1 / √ 1-(y)^2 dy szerint
másik oldalt meg:
-x / 1+(x)^2 dx szerint
és ha ezt integrálom, akkor a dy oldalnál ugyebár az lesz, hogy:
1/2 * (1-(y)^2)^(1/2) / (-1/2)
A lényeg, hogy x-t kéne kifejezni, de én ezt az (1-(y)^2)^(1/2)-t nem tudom hogyan bonthatnám fel, hogy ki tudjam rendesen y-t fejezni utána.
Ezt az y-s kifejezést hogyan bontsam fel???? :/
Elméletileg az előbbibe tartozik a következő diff. egyenlet:
y*(1+(x)^2)*y' + x*√ 1-(y)^2 = 0
nekem ez jön ki két integrálásnak:
1 / √ 1-(y)^2 dy szerint
másik oldalt meg:
-x / 1+(x)^2 dx szerint
és ha ezt integrálom, akkor a dy oldalnál ugyebár az lesz, hogy:
1/2 * (1-(y)^2)^(1/2) / (-1/2)
A lényeg, hogy x-t kéne kifejezni, de én ezt az (1-(y)^2)^(1/2)-t nem tudom hogyan bonthatnám fel, hogy ki tudjam rendesen y-t fejezni utána.
Ezt az y-s kifejezést hogyan bontsam fel???? :/
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
differenciálegyenlet
differenciálegyenlet
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
5
bongolo
{ 
}
válasza
Elírtad, az y-osban nem 1 a számláló, hanem y.
Látod?
Látod?
1
- Még nem érkezett komment!
noxter-norxert1704
válasza
Igen, ide rosszul irtam le, de a füzetemben úgy számoltam, mivel úgy jön ki az azonosság az integrálásra. Integrálás után a számlálóban 1-(y)^2 van, és ez az egész van az 1/2 hatványon. Nevezőben -1/2, de az könnyen eltüntethető az 1/2 -es szorzó miatt ami az egész előtt van. engem az 1/2 -es hatvány zavar, azt nem tudom felbontani. 
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
`int y / sqrt( 1-y^2) dy`
Legyen `z=1-y^2`
Azért érdemes ezt csinálni, mert a számlálóban ennek a deriváltja van (osztva -2-vel, de az mindegy).
`(dz)/(dy) = -2y \ \ \ \ -> dy = (dz)/(-2y)`
`=int -1 / (2sqrt z) dz`
ami pedig sima eset, hisz `sqrt z` deriváltja majdnem pont ez.
`=-sqrt(1-y^2)+C`
Legyen `z=1-y^2`
Azért érdemes ezt csinálni, mert a számlálóban ennek a deriváltja van (osztva -2-vel, de az mindegy).
`(dz)/(dy) = -2y \ \ \ \ -> dy = (dz)/(-2y)`
`=int -1 / (2sqrt z) dz`
ami pedig sima eset, hisz `sqrt z` deriváltja majdnem pont ez.
`=-sqrt(1-y^2)+C`
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
megoldása
Ja, most esett le, hogy nem ezzel van bajod, csak messziről indultál neki a kérdésnek. Ugye ez a gondod:
`-sqrt(1-y^2) = -1/2·"ln"(x²+1)+C`
Ez jött ki a két integrálás után, és hogy hogyan tovább?
A mínusz kiesik, az `1/2` meg bekerül a logaritmus mögé hatványnak:
`sqrt(1-y^2) = "ln"(sqrt(x²+1)) - C`
A konstanst is be lehet vinni a logaritmusba:
`sqrt(1-y^2) = "ln"(k·sqrt(x²+1))`
(k egy másik konstans. Technikailag `e^(-C)`, de ez mindegy, konstans.)
Aztán négyzetre emelünk, kivonunk 1-et, végül gyököt vonunk:
`1-y^2 = "ln"^2(k·sqrt(x²+1))`
`y^2 = 1-"ln"^2(k·sqrt(x²+1))`
`y = sqrt(1-"ln"^2(k·sqrt(x²+1)))`
`-sqrt(1-y^2) = -1/2·"ln"(x²+1)+C`
Ez jött ki a két integrálás után, és hogy hogyan tovább?
A mínusz kiesik, az `1/2` meg bekerül a logaritmus mögé hatványnak:
`sqrt(1-y^2) = "ln"(sqrt(x²+1)) - C`
A konstanst is be lehet vinni a logaritmusba:
`sqrt(1-y^2) = "ln"(k·sqrt(x²+1))`
(k egy másik konstans. Technikailag `e^(-C)`, de ez mindegy, konstans.)
Aztán négyzetre emelünk, kivonunk 1-et, végül gyököt vonunk:
`1-y^2 = "ln"^2(k·sqrt(x²+1))`
`y^2 = 1-"ln"^2(k·sqrt(x²+1))`
`y = sqrt(1-"ln"^2(k·sqrt(x²+1)))`
Módosítva: 6 éve
1
- Még nem érkezett komment!