Célszerű az FQB háromszögre egy sin-tételt felírni. Ezt sokféle alakban ismerheted, én most a sinαa=sinβb=sinγc, ahol α,β,γ a háromszög szögei, a,b,c pedig rendre a szöggel szemközti oldalai.
Az FQB hárömszögre ez sin(90)/8=sin(50)/FB = sin(40)/FQ ⇒ FB=8*sin(50)=6.13 , FQ=8*sin(40)=5.14


Az oldalfelezőségből következik, hogy AB=2*FB=2*AF=12.26

Innen az AQ szakasz Pitagorasz-tétellel számolható, hiszen tudjuk, hogy AF=FB=6.13, FQ=5.14, és a háromszög derékszögű.
5.14²+6.13²=(AQ)²=64 ⇒ AQ=8 (cm)

Most már azt is tudjuk, hogy AQB egyenlőszárú háromszög, tehát δ=40⁰.

Ezután kiszámolhatjuk az AFQ háromszög harmadik szögét (ami az ε mellett van), hiszen ez a szög 90-δ=50⁰. (Tehát ott a Q pontnál így mindkét szög 50⁰, kivéve az ε.)

Kiszámolhatjuk ε-t: 50+50+ε=180 ⇒ ε=80⁰.

μ meghatározása sem bonyolult már, hiszen ACQ is egyenlőszárú háromszög, a két 8 cm-es oldal miatt, így tehát γ=ε=80⁰ (γ-val jelöltem a C csúcsnál lévő szöget). Ebből pedig μ=180-γ-ε=20⁰

AQ=8cm
δ=40⁰
ε=80⁰
μ=20⁰

Csatolom

Bocsi az elején nem szükséges a sin-tétel, amúgy se jól írtam le a tételt, hanem mivel derékszögű a háromszög ezért elég annyi, hogy sin(α)=szemközti oldal/átfogó, és így sin(40)=FQ/8 ⇒ FQ=8*sin(40).
sin(50)=FB/8 ⇒ FB=8*sin(50).
Innentől már ugyanaz, tehát az előző megoldás is jó.
Amúgy a sin-tétel így néz ki helyesen: sin(α)/a = sin(β)/b=sin(γ)/c.