Ha egyiküknek sincs semmije, az elvileg jó megoldás, mert a 0 is négyzetszám, de bizonyára nem ez a keresett válasz, mindkettőnek kell legyen valamennyi...
Elvileg az is jó lehetne, ha Jancsinak 1 van, Juliskának meg semmi, de bizonyára még mindig nem ez a keresett megoldás...

Jancsinak több kell legyen, mert ha ad Juliskának annyit, amennyi Juliskának van, még mindig marad neki (Jancsinak) valamilyen négyzetszám.
Legyen mondjuk Jancsinak x², Juliskának y.
- Juliska odaad Jancsinak mindent: x²+y is négyzetszám: `a^2`
- Jancsi odaad Juliskának y darabot: x²-y is négyzetszám: `b^2`
`y=a^2-x^2` és `y=x^2-b^2`
vagyis
`a^2-x^2=x^2-b^2`

Keressünk olyan megoldást, amikor `b^2` a legkisebb: 1. (Nem törvényszerű, hogy ez adja a legkisebb `x`-et, de valamiből ki kell indulni...)
`a^2-x^2=x^2-1`
`x^2 = (a^2+1)/2`
`a` páratlan kell legyen.

Nézzünk néhány kicsi értéket, hátha mázlink van: 1, 3, 5 esetén nem jó, `a=7` esetén viszont `(7^2+1)/2=25=5^2`, ez jó!

Vagyis az egy elég kicsi megoldás, hogy Jancsinak van 5²=25, Juliskának pedig 24 üveggolyója.
25+24 = 7²
25-24 = 1²

Tehát könnyen lehet, hogy minimum 25 üveggolyója van Jancsinak.

----------------

Nem tudom, hogy valami matekosabb módszerrel kijön-e, hogy mi a legkisebb megoldás, illetve milyen megoldások vannak. Írtam rá programot, az is ezt találta a legkisebbnek... Ilyen megoldásokat talált még:
(10²) 100+96 = 14², 100-96 = 2²
(13²) 169+120=17², 169-120=7²
(15²) 225+216=21², 225-216=3²
(17²) 289+240=23², 289-240=7²
(20²) 400+384=28², 400-384=4²
stb.