Egyenlet

1. Tegyük fel, hogy x₁ gyöke, ekkor

3x₁⁴ – 10x₁³ + 6x₁² – 10x₁ + 3 = 0 teljesül. Ha igaz a feltevés, akkor 1/x₁ is gyöke, és az látszik, hogy az egyenletnek 0 nem gyöke, szóval minden további nélkül lehet. Ha igaz, akkor

3/x₁⁴ – 10/x₁³ + 6/x₁² – 10/x₁ + 3 = 0-ról kellene belátni, hogy igaz. Szerencsére ez egy lépésben látható; szorozzunk x₁⁴-nel:

3 - 10x₁ + 6x₁² - 10x₁³ + 3x₁⁴ = 0, rendezés után pedig pont az eredetit kapjuk, tehát az állítás igaz.

2. A második olyan szempontból látható ránézésre, hogy nincs negatív gyöke, mivel ha x helyére negatív számot írunk, akkor mindenki pozitívvá változik, azok összege meg biztosan nem 0. Már csak azt kellene megmutatni, hogy van legalább 1 valós gyöke az egyenletnek. Mivel az első állítás igaz volt, ezért a (0;1] intervallumon kell lennie gyöknek (mivel ha az x₁ szám 1-nél nagyobb, akkor reciproka 0 és 1 közé esik, ha pedig 1, annak reciproka pedig 1). A polinom helyettesítési értéke x=0 esetén 3, x=1 esetén -8. Mivel a polinom folytonos, ezért Bolzano tétele miatt a függvény az összes számot felveszi -8 és 3 között, amiben a 0 is benne van. Tehát az egyenletnek van legalább 2 valós megoldása, és azok pozitívak.